Question

4．某索道全長(zhǎng)l=125m，兩端高度差h=62.5m，乘客箱通過滑輪懸掛于索道上，經(jīng)過測(cè)試，從最高點(diǎn)由靜止出發(fā)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)滑向最低點(diǎn)只花了t=10s，這個(gè)過程十分危險(xiǎn)．為了控制乘客箱下滑的速度，乘客箱還需要加裝一個(gè)智能抓手，以便在索道上獲得阻力F，已知F的大小與下滑的位移x的關(guān)系如圖所示．試求：
（1）如果不使用智能抓手，乘客箱到達(dá)最低點(diǎn)的速度大小．
（2）如果要使乘客箱到達(dá)最低點(diǎn)的速度為零，那么乘客將在何處開始使用智能抓手？（取重力加速度為g=10m/s²，忽略索道的彎曲）

Answer 1

分析 本題關(guān)鍵在于先對(duì)測(cè)試用乘客箱受力分析，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律列式求解出摩擦力的大小，然后將乘客箱的實(shí)際運(yùn)動(dòng)分割為三個(gè)過程，對(duì)每一個(gè)分過程運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式，逐步求解出最后的速度．

解答 解：（1）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式l=$\frac{1}{2}$at²得乘客箱到達(dá)最低點(diǎn)所用的時(shí)間為：
a=$\frac{2l}{{t}^{2}}$=$\frac{2×125}{1{0}^{2}}$m/s²=2.5m/s²，
則乘客箱到達(dá)最低點(diǎn)的速度大小為：
v_t=at=2.5m/s²×10s=25m/s．
（2）設(shè)乘客箱的質(zhì)量為m，索道傾角為θ，其受重力mg、支持力N、摩擦力f，沿索道向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有：
mgsinθ-f=ma，
其中sinθ=$\frac{h}{l}$，
聯(lián)立以上各式可解得：f=0.25mg；
在45m～90m階段，根據(jù)牛頓第二定律有，
F_合=mgsinθ-f-0.25mg=0.5mg-0.25mg-0.25mg=0，
故乘客箱以速度v₁做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由圖象分析可知，如果在45m～90m之間使用智能抓手，乘客箱先勻速運(yùn)動(dòng)，再減速運(yùn)動(dòng)，減速的加速度為a′，
由牛頓第二定律得：0.65mg+f-mgsinθ=ma′，
代入數(shù)據(jù)可解得：a′=4m/s²，
要使乘客箱到達(dá)最低點(diǎn)的速度為零，在90m～125m階段，乘客箱運(yùn)動(dòng)的位移為：
x′=125m-90m=35m，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式${v}_{t}^{2}$-${v}_{0}^{2}$=2ax得滑到90m處的速度為：
${v}_{t}^{′2}$=2a′x′=2×4m/s²×35m，
對(duì)沒有使用智能抓手時(shí)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式${v}_{t}^{2}$=2ax得：
x=$\frac{{v}_{t}^{′2}}{2a}$=$\frac{2×4×35}{2×2.5}$m=56m，
所以在下滑到56m時(shí)使用智能抓手，乘客箱先做34m的勻速運(yùn)動(dòng)，然后做35m的減速運(yùn)動(dòng)，到最低點(diǎn)的速度剛好為零．
答：（1）如果不使用智能抓手，乘客箱到達(dá)最低點(diǎn)的速度大小是25m/s；
（2）如果要使乘客箱到達(dá)最低點(diǎn)的速度為零，那么乘客箱 在下滑到56m時(shí)使用智能抓手．

點(diǎn)評(píng) 本題屬動(dòng)力學(xué)常規(guī)題，多數(shù)同學(xué)習(xí)慣了斜面上的滑動(dòng)摩擦力的計(jì)算，本題卻另辟蹊徑直接給出抓手阻力的圖象，陳中有新意，但不偏不怪，
主要考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，兼顧考察學(xué)生處理多過程問題的能力，閱讀圖象的能力，必要的數(shù)學(xué)計(jì)算能力．