Question

(2010年高考課標(biāo)全國卷)如圖8－2－28所示，在0≤x≤a、0≤y≤范圍內(nèi)垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)．已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一．求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的

圖8－2－28
(1)速度的大��；
(2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦．

Answer 1

(1)(2－)　(2)

(1)設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得qvB＝m①
由①式得R＝②
當(dāng)a/2＜R＜a時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的上邊界相切，如圖所示．

設(shè)該粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，依題意t＝T/4，
得∠OCA＝③
設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系可得Rsinα＝R－④
Rsinα＝a－Rcosα⑤
又sin²α＋cos²α＝1⑥
由④⑤⑥式得R＝(2－)a⑦
由②⑦得v＝(2－).
(2)由④⑦式得sin α＝.
答案：(1)(2－)　(2)