Question

 圖中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為u,兩板之間有勻強磁場，磁場應強度大小為B₀，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經EF邊中點H射入磁場區(qū)域。不計重力

（1）已知這些離子中的離子甲到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質量。

（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為，求離子乙的質量。

（3）若這些離子中的最輕離子的質量等于離子甲質量的一半，而離子乙的質量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內可能有離子到達。

Answer 1

（1）由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，它所受到的向上的磁場力和向下的電場力平衡，有                    ①

式中

，v是離子運動的速度，E₀是平行金屬板之間的勻強電場的強度，有

               ②

由①②式得：

                        ③

在正三角形磁場區(qū)域，離子甲做勻速圓周運動。設離子甲質量為m，

由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有：

            ④

式中，r是離子甲做圓周運動的半徑。離子甲在磁場中的運動軌跡為半圓，圓心為O：這半圓剛好與EG邊相切于K，與EF邊交于I^/點。在ΔEOK中，OK垂直于EG。

由幾何關系得           

⑤

由⑤式得

                                           ⑥

聯(lián)立③④⑥式得,離子甲的質量為

                                          ⑦

（2）同理，有洛侖茲力公式和牛頓第二定律有

                                   ⑧

式中，和分別為離子乙的質量和做圓周運動的軌道半徑。離子乙運動的圓周的圓心必在E、H兩點之間，又幾何關系有

       ⑨

由⑨式得

                                          ⑩

聯(lián)立③⑧⑩式得，離子乙的質量為     ⑾

（3）對于最輕的離子，其質量為，由④式知，它在磁場中做半徑為的勻速圓周運動。因而與EH的交點為O，有

                                                 ⑿

當這些離子中的離子質量逐漸增大到m時，離子到達磁場邊界上的點的位置從點沿邊變到點；當離子質量繼續(xù)增大時，離子到達磁場邊界上的點的位置從點沿邊趨向于點。點到點的距離為

                                                 ⒀

所以，磁場邊界上可能有離子到達的區(qū)域是：邊上從到I^/點。邊上從到。