Question

15．在某星球表面輕繩約束下的質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)所受輕繩的拉力之差為△F，假設(shè)星球是均勻球體，其半徑為R，已知萬(wàn)有引力常量為G，不計(jì)一切阻力．
（1）求星球表面重力加速度      
（2）求該星球的密度．

Answer 1

分析 根據(jù)向心力公式和機(jī)械能守恒定律得出△F的表達(dá)式，求出重力加速度，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力求出星球質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求出密度．

解答 解：（1）設(shè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)速度大小分別為${v}_{1}^{\;}、{v}_{2}^{\;}$
在最高點(diǎn)根據(jù)向心力公式有：$mg+{F}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$…①
在最低點(diǎn)根據(jù)向心力公式有：${F}_{2}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$…②
最高點(diǎn)到最低點(diǎn)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，有：$mg•（2L）=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}③$
$△F={F}_{2}^{\;}-{F}_{1}^{\;}$…④
聯(lián)立①～④得：△F=6mg
所以$g=\frac{△F}{6m}$
（2）在星球表面重力等于萬(wàn)有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$…⑤
得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{{R}_{\;}^{2}△F}{6mG}$
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{{R}_{\;}^{2}△F}{6mG}×\frac{3}{4π{R}_{\;}^{3}}$=$\frac{{R}_{\;}^{2}△F}{8πmRG}$
答：（1）求星球表面重力加速度$\frac{△F}{6m}$      
（2）求該星球的密度$\frac{{R}_{\;}^{2}△F}{8πmRG}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力定律與力學(xué)中的向心力和機(jī)械能守恒定律的綜合題，對(duì)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的繩模型問題，關(guān)鍵是明確最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的向心力來(lái)源，根據(jù)牛頓第二定律列式求解，同時(shí)要結(jié)合動(dòng)能定理列式分析，同時(shí)記住萬(wàn)有引力的幾個(gè)重要結(jié)論．