Question

18．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有xOy坐標(biāo)系，長(zhǎng)為l的不可伸長(zhǎng)細(xì)繩，一端固定在A點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0、$\frac{l}{3}$），另一端系一質(zhì)量為m的小球．現(xiàn)在x坐標(biāo)軸上（x＞0）固定一個(gè)小釘，拉小球使細(xì)繩繃直并呈水平位置，再讓小球從靜止釋放，當(dāng)細(xì)繩碰到釘子以后，小球可以繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)釘子在x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩承受的拉力；
（2）為使小球釋放后能繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，釘子至少距O點(diǎn)多遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)學(xué)知識(shí)求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，由機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度，然后由牛頓第二定律求出繩子的拉力．
（2）由牛頓第二定律求出小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出釘子的位置，然后確定釘子位置范圍．

解答 解：（1）當(dāng)釘子在x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P點(diǎn)時(shí)，小球繞釘子轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為：
R1=l-$\sqrt{（\frac{l}{3}）^{2}+{x}^{2}}$
小球由靜止到最低點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒：
mg（$\frac{l}{3}$+R₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
在最低點(diǎn)細(xì)繩承受的拉力有：F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
解得最大拉力為：F=5mg   
（2）小球繞釘子圓周運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，有：
mg=$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒：mg（$\frac{l}{3}$-R₂）=$\frac{1}{2}$mv₂²
釘子所在位置為：x'=$\sqrt{（l-{R}_{2}）^{2}-（\frac{l}{3}）^{2}}$
聯(lián)解得：x'=$\frac{2\sqrt{10}}{9}$l
答：（1）當(dāng)釘子在x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩承受的拉力為5mg
（2）為使小球釋放后能繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，釘子至少距O點(diǎn)$\frac{2\sqrt{10}}{9}$l．

點(diǎn)評(píng) 本題應(yīng)明確小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時(shí)要注意，小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力．