Question

15．一個粗細均勻一端封閉的L型的玻璃管，豎直的空氣柱長度為L₀=100cm，上部的水平管內的水銀柱長度為80cm，當?shù)氐拇髿鈮簭姙镻₀=76cmHg，初始時的氣溫T₀=300K，水銀柱的右側有一個封閉的輕活塞，可無摩擦的移動．現(xiàn)用水平力F將活塞緩慢的向左推，使一部分水銀柱進入到豎直的管內，當豎直管內的水銀柱長度為x時，撤去推力F，水銀柱恰好在原處靜止．求：
（1）豎直管內水銀柱的長度x=？
（2）若將豎直管周圍的溫度升高，當溫度至少升高到多少K時，才能使水銀柱全部回到水平管內？

Answer 1

分析 （1）氣體溫度不變，根據(jù)玻意耳定律列式求解
（2）在溫度升高的過程中，可能有兩種情況：
a．溫度升高的過程中水銀一點點溢出，空氣柱的長度也一點點的變長，水銀柱恰好全部回到水平管時，豎直氣柱的長度為整個豎直管的長度；
b．溫度升高的過程中，開始時水銀一點點溢出，空氣柱的長度也一點點的變長，而在某一個特殊點，剩余的水銀一下子全部回到水平管．
由于第二種的情況存在一個極值，所以也可以先判定該極值，求出氣體的長度，然后與豎直管的長度比較即可．

解答 解：①設玻璃管的截面積為S，由玻意耳定律有：
${p}_{0}^{\;}{L}_{0}^{\;}S=（{p}_{0}^{\;}+x）（{L}_{0}^{\;}-x）S$
代入數(shù)據(jù)：76×100S=（76+x）（100-x）S
解得：x=24cm
②設升溫后管內剩余水銀柱長為x時，溫度最高，設為T_x，由理想氣體狀態(tài)方程：
$\frac{{p}_{0}^{\;}{V}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{76×100S}{300}=\frac{（100-x）S•（76+x）}{{T}_{x}^{\;}}$
解得：${T}_{x}^{\;}=\frac{3}{76}（100-x）（76+x）$，
故：x=7cm時，T_x有最大值；
由此可知，分析中的a假設是錯誤的，要考慮在某一個特殊點，剩余的水銀一下子全部回到水平管的情況
解得：${T}_{x}^{\;}=\frac{3}{76}×93×83≈304.4K$
答：（1）豎直管內水銀柱的長度x為24cm
（2）若將豎直管周圍的溫度升高，當溫度至少升高到304.4K時，才能使水銀柱全部回到水平管內

點評 該題考查理想氣體的狀態(tài)方程，該題中的第二問是一道非常容易出錯的問題，很容易使人想到當豎直管空氣柱的長度等于豎直管管的總長度時，水銀才回到水平管，而實際上并非如此．如果按照豎直管空氣柱的長度等于豎直管的總長度時，水銀才回到水平管，計算的結果將等于300K，是錯誤的．