Question

4．宇宙中有兩顆相距無(wú)限遠(yuǎn)的恒星S₁、S₂，半徑均為R₀．如圖分別是兩顆恒星周圍行星的公轉(zhuǎn)半徑r³與公轉(zhuǎn)周期T²的圖象，其中r³為橫軸，T²為縱軸．則（　�。�

• A． 恒星S₁的質(zhì)量大于恒星S₂的質(zhì)量
• B． 恒星S₁的密度小于恒星S₂的密度
• C． 距兩恒星表面高度相同的行星，S₁的行星向心加速度較大
• D． 恒星S₁的第一宇宙速度小于恒星S₂的第一宇宙速度

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得出衛(wèi)星的周期與恒星的質(zhì)量、半徑之間的關(guān)系，然后進(jìn)行比較；
結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力，分別寫出第一宇宙速度的表達(dá)式，然后比較它們的大小關(guān)系．

解答 解：A、由題圖可知，當(dāng)繞恒星運(yùn)動(dòng)的行星的環(huán)繞半徑相等時(shí)，S₁運(yùn)動(dòng)的周期比較大，根據(jù)公式：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$所以：M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$；
故周期越大則質(zhì)量越小，所以恒星S₁的質(zhì)量小于恒星S₂的質(zhì)量．故A錯(cuò)誤；
B、兩顆恒星的半徑相等，則根據(jù)M=ρV，半徑R₀相等則它們的體積相等，所以質(zhì)量大S₂的密度大，故B正確；
C、距恒星表面一定高度的行星，向心加速度大小設(shè)為a，根據(jù)牛頓第二定律，有：ma=$G\frac{Mm}{r^2}$；
由于恒星S₁的質(zhì)量小于恒星S₂的質(zhì)量，所以S₁的行星向心加速度較小，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，則：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$，所以：v=${\sqrt{\frac{GM}{R}}}$；
由于恒星S₁的質(zhì)量小于恒星S₂的質(zhì)量，所以恒星S₁的第一宇宙速度小于恒星S₂的第一宇宙速度．故D正確；
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 該題考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，由于兩個(gè)恒星的半徑均為R₀，又可以根據(jù)圖象，結(jié)合萬(wàn)有引力定律比較半徑和周期之間的關(guān)系．當(dāng)然也可以結(jié)合開普勒第三定律分析半徑與周期之間的關(guān)系．