Question

如圖所示，水平地面上方被豎直線(xiàn)MN分隔成兩部分，M點(diǎn)左側(cè)地面粗糙，與B球間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，右側(cè)光滑．MN右側(cè)空間有一范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在O點(diǎn)用長(zhǎng)為R=5m的輕質(zhì)絕緣細(xì)繩，拴一個(gè)質(zhì)量m_A=0.04kg，帶電量為q=+2×10^-4C的小球A，在豎直平面內(nèi)以v=10m/s的速度做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與地面剛好不接觸．處于原長(zhǎng)的彈簧左端連在墻上，右端與不帶電的小球B接觸但不粘連，B球的質(zhì)量m_B=0.02kg，此時(shí)B球剛好位于M點(diǎn)．現(xiàn)用水平向左的推力將B球緩慢推至P點(diǎn)（彈簧仍在彈性限度內(nèi)），MP之間的距離為L(zhǎng)=10cm，推力所做的功是W=0.27J，當(dāng)撤去推力后，B球沿地面向右滑動(dòng)恰好能和A球在最低點(diǎn)處發(fā)生正碰，并瞬間成為一個(gè)整體C（A、B、C均可視為質(zhì)點(diǎn)），速度大小變?yōu)?m/s，方向向左；碰撞前后電荷量保持不變，碰后瞬間立即把勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小變?yōu)镋=6×10³N/C，電場(chǎng)方向不變，求：
（1）在A、B兩球碰撞前勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向；
（2）彈簧具有的最大彈性勢(shì)能；
（3）整體C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力大�。�（取g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力始終指向圓心且大小不變，所以電場(chǎng)力要與重力平衡抵消，繩子的拉力提供向心；
（2）先根據(jù)功能關(guān)系求出小球B運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)速度，由動(dòng)量守恒定律求得共同速度；
（3）把勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小變?yōu)镋=6×10³N/C，電場(chǎng)方向不變時(shí)，分析小球的運(yùn)動(dòng)情況．由動(dòng)能定理求得小球達(dá)到最高點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式即可求解；

解答：解：（1）要使小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，必須滿(mǎn)足：F_電=Eq=m_Ag
所以 E=

mAg

q

=

0.04×10

2×10-4

N/C=2×10³N/C，方向豎直向上．
（2）由功能關(guān)系得，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能 E_P=W-μm_BgL=0.27-0.5×0.02×10×0.1=0.26（J）．
（3）設(shè)小球B運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)速度為v_B，由功能關(guān)系得：
  E_P-μm_BgL=

1

2

mB

v

2 B

解得：v_B═5m/s
兩球碰后結(jié)合為C，設(shè)C的速度為v₁，取向左為正方向，對(duì)于兩球組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：
 m_Av-m_Bv_B=m_Cv₁
解得：v₁=5m/s
電場(chǎng)變化后，因 E′q-m_Cg=0.6N，mC

v 2 C

R

=0.3N
則mC

v 2 C

R

＜E′q-m_Cg
所以C不能做圓周運(yùn)動(dòng)，而是做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t繩子在Q處繃緊，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得
  x=v₁t
  y=

1

2

at2
根據(jù)牛頓第二定律得；a=

E′q-mCg

mC

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)有：x²+（R-y）²=R²  
可得：t=1s
則得：v_y=at=10m/s，x=y=R=5m
即：繩子繃緊時(shí)恰好位于水平位置，繩子繃緊后水平方向速度變?yōu)?，以豎直速度v₂=v_y開(kāi)始做圓周運(yùn)動(dòng)．
設(shè)到最高點(diǎn)時(shí)速度為v₃
由動(dòng)能定理得：

1

2

mC

v

2 3

-

1

2

mC

v

2 2

=E′qR-m_CgR
解得：v₃=10

2

m/s
在最高點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：T+m_Cg-E′q=m_C

v 2 3

R

解得：T=3N 
答：（1）在A、B兩球碰撞前勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小為2×10³N/C，方向豎直向上；（2）彈簧具有的最大彈性勢(shì)能為0.26J；（3）整體C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力大小為3N．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律及功能關(guān)系的應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況及運(yùn)動(dòng)過(guò)程，難點(diǎn)較大．