Question

3．如圖所示，AOB是光滑水平軌道，BC是半徑為R的光滑的$\frac{1}{4}$固定圓弧軌道，兩軌道恰好相切于B點．質(zhì)量為M的小木塊靜止在O點，一個質(zhì)量為m的子彈以某一初速度水平向右射入小木塊內(nèi)，并留在其中和小木塊一起運(yùn)動，且恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點C（木塊和子彈均可以看成質(zhì)點）．求：
（1）子彈射入木塊前的速度；
（2）若每當(dāng)小木塊返回到O點或停止在O點時，立即有相同的子彈射入小木塊，并留在其中，則當(dāng)?shù)?顆子彈射入小木塊后，小木塊沿圓弧軌道能上升的最大高度為多少？

Answer 1

分析 （1）由動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出初速度；
（2）由動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律求出最大高度．

解答 解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}=（M+m）gR$，
解得：v=$\sqrt{2gR}$，
子彈射入木塊的過程中，對子彈和木塊組成的系統(tǒng)研究，規(guī)定向右為正方向，根據(jù)動量守恒得：
mv₀=（M+m）v，
解得：${v}_{0}=\frac{（M+m）\sqrt{2gR}}{m}$．
（2）由動量守恒定律可知，第2、4、6…顆子彈射入木塊后，木塊的速度為0，
第1、3、5…顆子彈射入后，木塊運(yùn)動．當(dāng)?shù)?顆子彈射入木塊時，以子彈初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=（9m+M）v₉，
設(shè)此后木塊沿圓弧上升的最大高度為H，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}（9m+M）{{v}_{9}}^{2}=（9m+M）gH$
由以上各式可得：H=$（\frac{M+m}{M+9m}）^{2}R$．
答：（1）子彈射入木塊前的速度為$\frac{（M+m）\sqrt{2gR}}{m}$；
（2）小木塊沿圓弧軌道能上升的最大高度為$（\frac{M+m}{M+9m}）^{2}R$．

點評 本題考查了求速度與木塊上升的高度問題，分析清楚物體運(yùn)動過程、應(yīng)用動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律即可正確解題．