Question

5．如圖，ABC為固定在豎直平面內(nèi)的軌道，AB為光滑的四分之一圓弧，與粗糙水平面BC相切．將質量m=0.5kg的滑塊從A點靜止釋放，滑塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.1，滑塊從B點滑行L=18m后到達C點時速度v₁=8m/s．現(xiàn)將BC間的一段MN用鐵刷劃擦，使該段的動摩擦因數(shù)變?yōu)棣?SUB>2=0.5，再使滑塊從A點靜止釋放，到達C點的速度為v₂=6m/s．
（1）求圓弧的半徑R；
（2）求MN段的長度l；
（3）若BC間用鐵刷劃擦的MN段的長度不變，要使滑塊從B到C的運動時間最長，問鐵刷劃擦的MN段位于何位置？請作出v-t圖，并通過分析v-t圖得出結論．

Answer 1

分析 （1）滑塊第一次從B到C，由動能定理可求得滑塊經(jīng)過B點的速度．對滑塊由A到B，由動能定理列式，可求得圓弧的半徑R．
（2）滑塊第二次從B到C，由動能定理列式，可求得MN段的長度l．
（3）MN在最左端時滑塊從B到C的運動時間最長，由運動學速度位移關系公式研究MN段，得到此過程滑塊到N的速度．再平均速度求滑行的總時間．

解答 解：（1）滑塊第一次從B到C，由動能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得滑塊經(jīng)過B點時的速度為：v_B=10m/s
滑塊由A到B，由動能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：R=5m
（2）滑塊第二次從B到C，由動能定理得：
-μ₁mg（L-l）-μ₂mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：l=3.5m
（3）根據(jù)動能定理可知，無論MN段位何位置，滑塊到達C點的速度不變，如圖，作出v-t圖象．黑線表示MN段沒有用鐵刷劃擦的圖象．由于MN段長度不變，隨著M端離B點距離增大，由圖看出所用時間變短，因此M端與B點重合時，所用時間最長．
由題意分析可知，MN在最左端時滑塊從B到C的運動時間最長．
答：（1）圓弧的半徑R是5m；
（2）MN段的長度l是3.5m；
（3）鐵刷劃擦的MN段M端與B點重合時，所用時間最長．

點評 本題涉及力在空間的效應，運用動能定理是常用的思路，要反復運用動能定理列式解答，列式時要抓住各個過程之間的聯(lián)系，如速度關系．