Question

4．如圖為某種質(zhì)譜儀的結(jié)構(gòu)的截面示意圖，該種質(zhì)譜儀由加速電場、靜電分析器、磁分析器及收集器組成．其中靜電分析器由兩個相互絕緣且同心的四分之一圓柱面的金屬電極K₁和K₂構(gòu)成，兩柱面電極的半徑分別為R₁和R₂，O₁點是圓柱面電極的圓心．S₁和S₂分別為靜電分析器兩端為帶電粒子進出所留的狹縫．靜電分析器中的電場的等勢面在該截面圖中是一系列以O(shè)₁為圓心的同心圓弧，圖中虛線A是到K₁、K₂距離相等的等勢線．磁分析器中有以O(shè)₂為圓心的四分之一圓弧的區(qū)域，該區(qū)域有垂直于截面的勻強磁場，磁場左邊界與靜電分析器的右邊界平行．P₁為磁分析器上為帶電粒子進入所留的狹縫，O₂P₁的連線與O₁S₁的連線垂直．
離子源不斷地發(fā)出正離子束，正離子束包含電荷量均為q的兩種質(zhì)量分別為m、m′（m＜m′＜2m）的同位素離子，其中質(zhì)量為m的同位素離子個數(shù)所占的百分比為α．離子束從離子源發(fā)出的初速度可忽略不計，經(jīng)電壓為U的加速電場加速后，全部從狹縫S₁沿垂直于O₁S₁的方向進入靜電分析器．穩(wěn)定情況下，離子束進入靜電分析器時的等效電流為I．進入靜電分析器后，質(zhì)量為m的同位素離子沿等勢線A運動并從狹縫S₂射出靜電分析器，而后由狹縫P₁沿垂直于O₂P₁的方向進入磁場中，偏轉(zhuǎn)后從磁場下邊界中點P₂沿垂直于O₂P₂的方向射出，最后進入收集器．忽略離子的重力、離子之間的相互作用、離子對場的影響和場的邊緣效應(yīng)．
（1）求靜電分析器中等勢線A上各點的電場強度E的大��；
（2）通過計算說明質(zhì)量為m′的同位素離子能否從狹縫S₂射出電場并最終從磁場下邊界射出；
（3）求收集器單位時間內(nèi)收集的離子的質(zhì)量M₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求得加速后獲得的速度，根據(jù)運動軌跡判斷出在靜電分析器中的半徑，利用電場力提供向心力求得點場強度；
（2）根據(jù)動能定理求得在加速電場中獲得的速度，在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供粒子作圓周運動所需的向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求得，即可判斷
（3）有離子都能進入磁場并從磁場下邊界射出進入收集器，由題意可知，進入收集器的離子中，質(zhì)量為m的離子個數(shù)N₁=αN，質(zhì)量為m′的離子個數(shù) N₂=（1-α）N，即可求得

解答 解：（1）由題意可知，等勢線A的半徑為：
R=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{2}$
質(zhì)量為m的離子在靜電分析器中做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律有：qE=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
設(shè)質(zhì)量為m的離子從狹縫S₁進入靜電分析器時的速度為v，則其在加速電場中加速過程中，根據(jù)動能定理有：qU=$\frac{1}{2}$mv²
解得：E=$\frac{4U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
（2）設(shè)質(zhì)量為m′的離子經(jīng)加速電場加速后，速度為v′，由動能定理可得：qU=$\frac{1}{2}$m′v′²
質(zhì)量為m′的離子在電場中做半徑為R的勻速圓周運動，所需要的向心力為：F_向=m′$\frac{v{′}^{2}}{R}$
解得：F_向=qE
即該離子所受電場力，恰好等于它若做勻速圓周運動的向心力，因此這個離子仍然在靜電分析器中做半徑為R的勻速圓周運動．故質(zhì)量為m′的離子能從狹縫S₂射出，仍從狹縫P₁進入磁場做勻速圓周運動
設(shè)質(zhì)量為m′的離子進入磁場做勻速圓周運動的半徑為r′，O₂P₂=d，
若質(zhì)量為m′的離子能從磁場下邊界射出，則出射位置到O₂距離為x須滿足的條件為0＜x＜2d
質(zhì)量為m的離子在磁分析器中做勻速圓周運動，
根據(jù)牛頓第二定律有qvB=m$\frac{v2}{r}$ 
離子在磁分析器中做勻速圓周運動的半徑r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，r∝$\sqrt{m}$
由題意可知，質(zhì)量為m的離子圓周運動的軌道半徑r=d
所以質(zhì)量為m′的離子在磁分析器中做勻速圓周運動的半徑為：
r′=$\sqrt{\frac{m′}{m}}$r=$\sqrt{\frac{m′}{m}}$d 
因m＜m′＜2m，故d＜r′＜$\sqrt{2}$d
則由幾何關(guān)系有：r′²=x²+（r′-d）²
解得：x²_max=（2$\sqrt{2}$-1）d²＜4d²，所以質(zhì)量為m′的離子能從磁場下邊界射出
（3）時間△t內(nèi)能進入靜電分析器的離子個數(shù)N=$\frac{I△t}{q}$ 
因所有離子都能進入磁場并從磁場下邊界射出進入收集器，由題意可知，進入收集器的離子中，質(zhì)量為m的離子個數(shù)N₁=αN，質(zhì)量為m′的離子個數(shù)為：N₂=（1-α）N 
解得：M₀=$\frac{{N}_{1}m+{N}_{2}m′}{△t}$=$\frac{I}{q}$[α﹒m+（1-α） m′]
答：（1）靜電分析器中等勢線A上各點的電場強度E的大小為=$\frac{4U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$；
（2）質(zhì)量為m′的同位素離子能從狹縫S₂射出電場并最終從磁場下邊界射出；
（3）收集器單位時間內(nèi)收集的離子的質(zhì)量M₀為$\frac{I}{q}$[α﹒m+（1-α） m′]．

點評 了解研究對象的運動過程是解決問題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題．找出圓周運動所需的向心力，列出等式解決問題．