Question

如圖所示，光滑水平面上，質量為2m的小球B連接著輕質彈簧、處于靜止狀態(tài)；質量為m的小球A以速度v₀向右勻速運動，接著逐漸壓縮彈簧并使B運動，過一段時間后，A與彈簧分離．設小球A、B與彈簧相互作用過程中無機械能損失，彈簧始終處于彈性限度以內．
（1）求當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能E．
（2）若開始時在小球B的右側某位置固定一塊擋板（圖中未畫出），在小球A與彈簧分離前使小球B與擋板發(fā)生正撞，并在碰后立刻將擋板撤走．設小球B與固定擋板的碰撞時間極短，碰后小球B的速度大小不變、但方向相反．設此后彈簧性勢能的最大值為E_m，求E_m可能值的范圍．

Answer 1

分析：（1）當A、B速度相同時，彈簧被壓縮到最短，彈簧的勢能最大，根據動量守恒定律和能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．
（2）對B球與擋板碰撞前瞬間和B與擋板碰后反彈，當A、B速度相等兩個過程運用動量守恒定律，通過能量守恒求出最大彈性勢能與B速度的表達式．通過對B速度最大值的范圍得出彈簧彈性勢能最大值的范圍．

解答：解：（1）當A球與彈簧接觸以后，在彈力作用下減速運動，而B球在彈力作用下加速運動，彈簧勢能增加，當A、B速度相同時，彈簧的勢能最大．
設A、B的共同速度為v，彈簧的最大勢能為E，則A、B系統動量守恒：mv₀=（m+2m）v①
由機械能守恒：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

（m+2m）v²+E…②
聯立兩式得：E=

1

3

m

v

2 0

…③
（2）設B球與擋板碰撞前瞬間的速度為v_B，此時A的速度為v_A．
系統動量守恒：mv₀=mv_A+2mv_B…④
B與擋板碰后，以v_B向左運動，壓縮彈簧，當A、B速度相同（設為v_共）時，彈簧勢能最大，為E_m，
則：mv_A-2mv_B=3mv_共…⑤

1

2

m

v

2 0

═

1

2

×3m

v

2 共

+Em…⑥
由④⑤兩式得：v_共=

v0-4vB

3

代入⑥式，化簡得：E_m=

8m

3

[-（v_B-

v0

4

）²+

3v 2 0

16

]…⑦
而當彈簧恢復原長時相碰，v_B有最大值v_Bm，則：
mv₀=mv_A′+2mv_Bm          

1

2

mv₀²=

1

2

mv_A′²+

1

2

×2mv_Bm²
聯立以上兩式得：v_Bm=

2

3

v₀即v_B的取值范圍為：0＜V_B≤

2

3

v₀…⑧
結合⑦式可得：當v_B=

v0

4

時，E_m有最大值為：

1

2

m

v

2 0

…⑨
當v_B=

2

3

v₀時，E_m有最小值為：

1

27

m

v

2 0

答：（1）當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能是

1

3

m

v

2 0

．
（2）此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍為[

1

27

m

v

2 0

，

1

2

m

v

2 0

]．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、能量守恒定律，綜合性較強，對學生的能力要求較高，且多次運用動量守恒定律，是一道難題．