Question

【題目】將從空中下落的雨滴看作為球體，設(shè)它豎直落向地面的過程中所受空氣阻力大小為f=kr2v2，其中v是雨滴的速度大小，r是雨滴半徑，k是比例系數(shù)。設(shè)雨滴間無相互作用且雨滴質(zhì)量不變，重力加速度為g。

（1）試通過列式說明雨滴在下落過程中加速度如何變化；

（2）設(shè)雨滴的密度為ρ，推導(dǎo)雨滴無風(fēng)下落過程中的最大速度vm與半徑r的關(guān)系式；

（3）示意圖中畫出了半徑為r1、r2（r1>r2）兩種雨滴在空氣中無初速下落的v–t圖線，其中對(duì)應(yīng)半徑為r1的雨滴；

（4）無風(fēng)時(shí)，一般情況下小雨和暴雨雨滴落地時(shí)速度有何不同？說明該自然現(xiàn)象的原因。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①；（4）見解析

【解析】

（1）對(duì)雨滴受力分析如圖所示

由牛頓第二定律可得：

由題意可知f=kr2v2，即：

雨滴下落過程中，速度v與加速度a方向相同，可見隨著速度v的增加，加速度a減小，當(dāng)阻力f增大到與重力mg一樣大時(shí)，a減小到零（或雨滴做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，直至加速度為零。）

（2）根據(jù)上述推導(dǎo)

當(dāng)加速度為零時(shí)，雨滴速度最大，而雨滴質(zhì)量為

當(dāng)加速度a=0，可得雨滴的最大速度：

（3）由（2）中雨滴的最大速度，可知，當(dāng)雨滴半徑增大時(shí)，雨滴的最大速度也增大，因r1>r2，則①是半徑為r1的雨滴；

（4）一般情況下暴雨雨滴落地時(shí)速度要比小雨雨滴落地時(shí)速度的速度快由（2）結(jié)論，雨滴收尾速度與半徑有關(guān)，暴雨的雨滴體積大，因此速度也大。