Question

【題目】電磁緩沖器是應(yīng)用于車輛上以提高運(yùn)行安全性的輔助制動(dòng)裝置，其工作原理是利用電磁阻尼作用減緩車輛的速度。電磁阻尼作用可以借助如下模型討論：如圖所示，將形狀相同的兩根平行且足夠長(zhǎng)的鋁條固定在光滑斜面上，斜面與水平方向夾角為θ。一質(zhì)量為m的條形磁鐵滑入兩鋁條間，恰好勻速穿過，穿過時(shí)磁鐵兩端面與兩鋁條的間距始終保持恒定，其引起電磁感應(yīng)的效果與磁鐵不動(dòng)，鋁條相對(duì)磁鐵運(yùn)動(dòng)相同。磁鐵端面是邊長(zhǎng)為d的正方形，由于磁鐵距離鋁條很近，磁鐵端面正對(duì)兩鋁條區(qū)域的磁場(chǎng)均可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，鋁條的高度大于d，電阻率為ρ，為研究問題方便，鋁條中只考慮與磁鐵正對(duì)部分的電阻和磁場(chǎng)，其他部分電阻和磁場(chǎng)可忽略不計(jì)，假設(shè)磁鐵進(jìn)入鋁條間以后，減少的機(jī)械能完全轉(zhuǎn)化為鋁條的內(nèi)能，重力加速度為g
（1）求鋁條中與磁鐵正對(duì)部分的電流I；
（2）若兩鋁條的寬度均為b，推導(dǎo)磁鐵勻速穿過鋁條間時(shí)速度v的表達(dá)式；
（3）在其他條件不變的情況下，僅將兩鋁條更換為寬度 的鋁條，磁鐵仍以速度v進(jìn)入鋁條間，試簡(jiǎn)要分析說明磁鐵在鋁條間運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度和速度如何變化。

Answer 1

【答案】
（1）

解：磁鐵在鋁條間運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩根鋁條受到的安培力大小相等均為F安，有

F安=IdB①

磁鐵受到沿斜面向上的作用力為F，其大小有

F=2F安②

磁鐵勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，則有

F–mgsin θ=0③

聯(lián)立①②③式可得 ④

答：鋁條中與磁鐵正對(duì)部分的電流I為

（2）

解：磁鐵穿過鋁條時(shí)，在鋁條中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，有

E=Bdv⑤

鋁條與磁鐵正對(duì)部分的電阻為R，由電阻定律有

⑥

由歐姆定律有

⑦

聯(lián)立④⑤⑥⑦式可得 ⑧

答：磁鐵勻速穿過鋁條間時(shí)速度v的表達(dá)式為 。

（3）

解：磁鐵以速度v進(jìn)入鋁條間，恰好做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁鐵受到沿斜面向上的作用力F，聯(lián)立①②⑤⑥⑦式可得

⑨

當(dāng)鋁條的寬度b'>b時(shí)，磁鐵以速度v進(jìn)入鋁條間時(shí)，磁鐵受到的作用力變?yōu)镕'，有

⑩

可見，F(xiàn)'>F=mgsin θ，磁鐵所受到的合力方向沿斜面向上，獲得與運(yùn)動(dòng)方向相反的加速度，磁鐵將減速下滑，此時(shí)加速度最大，之后，隨著運(yùn)動(dòng)速度減小，F(xiàn)'也隨著減小，磁鐵所受的合力也減小，由于磁鐵加速度與所受到的合力成正比，磁鐵的加速度逐漸減小。綜上所述，磁鐵做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)。直到F'=mgsin θ時(shí)，磁鐵重新達(dá)到平衡狀態(tài)，將再次以較小的速度勻速下滑。

【解析】（1）磁鐵在鋁條間運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)安培力公式F=BdI求出兩根鋁條受到的安培力大�。�磁鐵勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件求解鋁條中與磁鐵正對(duì)部分的電流I．（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出鋁條中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)電阻定律得到鋁條與磁鐵正對(duì)部分的電阻，結(jié)合歐姆定律列式，可求解速度v的表達(dá)式．（3）磁鐵以速度v進(jìn)入鋁條間恰好做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁鐵受到沿斜面向上的作用力F．由上題結(jié)果得到F與b、v等量的關(guān)系．再分析當(dāng)兩鋁條的寬度變?yōu)閎′時(shí)，受到的作用力變化，由牛頓第二定律分析鋁條的運(yùn)動(dòng)情況，從而得到加速度和速度的變化情況．