Question

12．如圖所示，BCD為一豎直放置，半徑為R的光滑圓弧細(xì)管道，BC弧對應(yīng)的圓心角θ=60°，連線DC是圓弧細(xì)管道的豎直直徑，一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以某一初速度從A點(diǎn)水平拋出，恰好從圓弧細(xì)管BCD的B點(diǎn)沿該處切線方向進(jìn)入圓弧細(xì)管道，經(jīng)BCD從圓弧細(xì)管道的最高點(diǎn)D射出，且經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)小球?qū)��?nèi)側(cè)管道的壓力大小為$\frac{3}{4}$mg，不計(jì)空氣阻力，已知重力加速度大小為g，求：
（1）小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）小球從A點(diǎn)水平拋出的初速度大小．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可知向心力，再由牛頓第二定律和向心力公式可求得速度；
（2）由機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動規(guī)律列式，聯(lián)立可求得初速度．

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₁，由題意及牛頓第二定律可得：
mg-$\frac{3}{4}mg$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\frac{\sqrt{gR}}{2}$；
（2）設(shè)小球在B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，由機(jī)械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₁²+mg（R+Rcosθ）
設(shè)小球從A點(diǎn)到水平拋出的初速度大小為v0；根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律可得：
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$
聯(lián)立解得：v₀=$\frac{\sqrt{13Rg}}{4}$
答：（1）小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{gR}}{2}$
（2）小球從A點(diǎn)水平拋出的初速度大小$\frac{\sqrt{13Rg}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查向心力公式、平拋及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意正確選擇物理過程，明確物理規(guī)律的應(yīng)用求解．