Question

8．半徑為R的半球形區(qū)域的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半圓內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是B，x＜0的空間存在豎直向下的勻強(qiáng)電場．質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從P點(diǎn)以適當(dāng)方向，適當(dāng)大小的速度射入電場，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后從O點(diǎn)沿x軸正向射入磁場（在電場中軌跡如圖中虛線所示），圖中PO長為l，PO與水平方向夾角為α，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑剛好也是R，不計(jì)粒子重力．
（1）粒子穿出半球形區(qū)域的位置坐標(biāo)；
（2）粒子從P點(diǎn)射入電場，到射出磁場的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合題目的情景，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后由幾何關(guān)系即可求出；
（2）根據(jù)粒子在磁場中的受力，結(jié)合牛頓第二定律即可求出粒子進(jìn)入磁場的速度，由類平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，即可求出粒子在電場中的時(shí)間；結(jié)合圖中的幾何關(guān)系求出粒子的偏轉(zhuǎn)角度，由$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$即可求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最后求出總時(shí)間．

解答 解：（1）如圖畫出粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的軌跡，

由圖中的幾何關(guān)系得：x²+y²=R²
同時(shí)：x²+（R-y）²=R²
聯(lián)立得：$x=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，y=0.5R
所以，射出點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，0.5R）
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：v=$\frac{qBR}{m}$
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向的速度保持不變，所以粒子穿過電場的時(shí)間：
${t}_{1}=\frac{l•cosα}{v}$=$\frac{mlcosα}{qBR}$
粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度θ：sinθ=$\frac{x}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：$θ=\frac{π}{3}$
結(jié)合公式：$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$
所以：${t}_{2}=\frac{θ}{2π}•T=\frac{\frac{π}{3}}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$
粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{mlcosα}{qBR}$+$\frac{πm}{qB}$=$\frac{mlcosα+πmR}{qBR}$
答：（1）粒子穿出半球形區(qū)域的位置坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，0.5R）；
（2）粒子從P點(diǎn)射入電場，到射出磁場的總時(shí)間是$\frac{mlcosα+πmR}{qBR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查粒子在電場中類平拋運(yùn)動(dòng)和在磁場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)學(xué)生幾何能力要求較高，能夠找出問題的臨界情況是解決本題的關(guān)鍵．