Question

11．將一個煤塊輕放上以2m/s的恒定速度運動的足夠長的水平傳送帶上后，傳送帶上留下一條長度為4m的劃痕．若使傳送帶以2m/s的初速度改做勻減速運動直到停止，其加速度大小為1.5m/s²，并且在傳送帶開始做勻減速運動的同時，將另一煤塊輕放在傳送帶上，則該煤塊在傳送帶上能留下一條多長的劃痕？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析 煤塊A放在速度恒定傳送帶時，在做勻加速運動的過程中，在傳送帶留下劃線．劃線的長度等于傳送帶與煤塊A的相對位移大小，根據(jù)位移公式和牛頓第二定律求出煤塊A與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)．
煤塊B放在傳送帶后先做勻加速運動，速度與傳送帶相同后，根據(jù)傳送帶的加速度與兩者靜止時煤塊B最大加速度比較，判斷煤塊B的運動情況，根據(jù)位移公式和位移關系求解該煤塊B在傳送帶上能留下的劃線的長度

解答 解：煤塊A在傳送帶上運動，設其加速度為a，加速時間為t，則vt-$\frac{1}{2}$at²=4 m，at=2 m/s，
所以a=0.5 m/s²
若傳送帶做勻減速運動，設煤塊B的加速時間為t₁，則有v₁=at₁=v-a′t₁．
所以${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{a+a′}=\frac{2}{0.5+1.5}s=1s$
${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=0.5×1m/s=0.5m/s$
此時煤塊相對傳送帶向后運動的位移，煤塊B在傳送帶上留下的擦痕長為：
l₁=x_傳送帶-x_煤塊=（vt₁-$\frac{1}{2}$a′${t}_{1}^{2}$）-$\frac{1}{2}$a ${t}_{1}^{2}$=2×1-$\frac{1}{2}$×1.5×1²-$\frac{1}{2}$×0.5×1²=1 m
因為${a}_{傳}^{\;}＞{a}_{煤}^{\;}$，速度相等后，煤塊做勻減速運動，相對傳送帶向右運動，所以傳送帶先停止
${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{a′}=\frac{0.5}{1.5}s=\frac{1}{3}s$
傳送帶的位移${x}_{傳送帶}^{′}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{0.5}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}m$
煤塊的位移${x}_{煤塊}^{′}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$=$0.5×\frac{1}{3}-\frac{1}{2}×0.5×（\frac{1}{3}）_{\;}^{2}=\frac{5}{36}m$
煤塊相對傳送帶向前運動的位移${l}_{2}^{\;}={x}_{煤塊}^{′}-{x}_{傳送帶}^{′}=\frac{5}{36}-\frac{1}{12}=\frac{1}{18}m$
此時煤塊的速度${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}-a{t}_{2}^{\;}=0.5-0.5×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}m/s$
接著煤塊繼續(xù)做勻減速到停止
${x}_{煤塊}^{″}=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}=\frac{（\frac{1}{3}）_{\;}^{2}}{2×0.5}=\frac{1}{9}m$
煤塊相對傳送帶向前運動的位移$l′=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}=\frac{1}{6}m$
因為${l}_{1}^{\;}＞l′$，所以痕跡長為1m
答：該煤塊在傳送帶上能留下一條1m長的劃痕

點評 解決本題的關鍵理清煤塊在傳送帶上的運動情況，當傳送帶勻減速運動時，煤塊在傳送帶上先加速，與傳送帶速度相等后做勻減速運動，相對于傳送帶先后滑然后再向前滑．