Question

（2011?浙江模擬）有一個邊長為L=1.4m的正方形桌子，桌面離地高度為h=1.25m．一個質量為m的小物塊可從桌面中心O點以初速v₀=2m/s沿著桌面任意方向運動直至落地．設動摩擦因素為μ=0.2 （取g=10m/s²），求
（1）設物塊在桌面滑動距離為s，求物塊剛離開桌面時的速度v與s的關系．
（2）物塊在桌面滑動距離s為多大時，物塊水平運動距離最大？最大距離為多少？
（3）物塊水平運動距離最大時，物塊運動的總時間為多少？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出物塊剛離開桌面時的速度v與s的關系．
（2）離開桌子后，物塊做平拋運動，由運動的分解法得出物塊水平運動距離與初速度的關系，求出總的水平距離與s的關系，由數學知識求解s為多大時，物塊水平運動距離最大，并求出最大距離．
（3）根據牛頓第二定律和速度公式求出物塊在桌面運動的時間，再求解總時間．

解答：解：（1）物塊在桌面滑動過程，根據動能定理可得：
-μmgs=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

得出：v=

v 2 0 -2μgs

（2）離開桌子后，物塊做平拋運動
   s₁=vt
   h=

1

2

gt2
則物塊水平運動距離為
 S=s+

2h g

?

v 2 0 -2μgs

代入已知條件
 S=s+

1-s

令

1-s

=x，得到：
S=-x²+x+1
當x=-

b

2a

=-

1

2×(-1)

=

1

2

時，S有最大值．
則有

1-s

=

1

2

，得到s=

3

4

m時，總的水平運動距離S取得最大值，最大值為S_max=

3

4

+

1

2

=

5

4

(m)
（3）設物塊在桌面運動時間為t₁，加速度為a，則
-μmg=ma，
   v=v₀+at₁
可得物塊在桌面運動時間為
   t1=

v0-v

μg

解得t₁=0.5s，
平拋運動時間為t2=

2h g

=0.5s
所以總運動時間為t=t₁+t₂=1s
答：
（1）物塊剛離開桌面時的速度v與s的關系為v=

v 2 0 -2μgs

．
（2）物塊在桌面滑動距離s=

3

4

m時，水平運動距離S取得最大值，最大值為S_max=

5

4

m．
（3）物塊水平運動距離最大時，物塊運動的總時間為1s．

點評：本題難點是運用數學知識求解極值，考查運用數學知識解決物理問題的能力．