Question

11．如圖所示，截面為直角梯形的固定平臺上有一位置可以移動的光滑的四分之一圓弧軌道，軌道的半徑R=0.8m，圓弧最底點B點切線水平，在平臺的左側光滑斜面上，有一長度等于斜面長的輕彈簧放在斜面上，下端固定在斜面下端的擋板上，斜面的傾角為θ=37°．將四分之一圓弧軌道移到適當?shù)奈恢�，讓一質量為m=0.5kg的小球從圓弧軌道的最高點A由靜止釋放沿圓弧軌道滾下，從B點拋出后做平拋運動，剛好從斜面的頂端D與斜面無碰撞地壓在輕彈簧的上端，并將輕彈簧沿斜面向下最大壓縮了x₀=0.3m，重力加速度g=10m/s²．
（1）B點和D點到圓弧軌道底面左側C點的距離分別為多少？
（2）彈簧具有的最大彈性勢能為多少？

Answer 1

分析 （1）先根據機械能守恒定律求出小球滑到B點的速度．小球離開B點后做平拋運動，根據分位移公式列式，結合小球到達D點時速度平行于斜面，得到分速度的關系，聯(lián)立解答．
（2）對整個過程，運用機械能守恒定律求彈簧具有的最大彈性勢能．

解答 解：（1）小球沿圓弧軌道滾下過程，由機械能守恒定律得
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
據題，小球剛好從斜面的頂端D與斜面無碰撞地壓在輕彈簧的上端，說明小球到達D點時速度與斜面平行向下，則有
  tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{B}}$
可得 v_y=v_Btan37°=4×$\frac{3}{4}$m/s=3m/s
設B點和D點到圓弧軌道底面左側C點的距離分別為h和s．
則 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{3}^{2}}{2×10}$=0.45m
由v_y=gt得 t=0.3s
因此有 x=v_Bt=4×0.3m/s=1.2m
（2）對整個過程，根據機械能守恒定律得：
彈簧具有的最大彈性勢能為  E_p=mg（R+h+x₀sin37°）=0.5×10×（0.8+0.45+0.3×0.6）J=7.15J
答：
（1）B點和D點到圓弧軌道底面左側C點的距離分別為0.45m和1.2m．
（2）彈簧具有的最大彈性勢能為7.15J．

點評 解決本題的關鍵要掌握平拋運動的研究方法：運動的分解法，明確隱含的條件：D點的速度平行于斜面向下．