Question

1．如圖所示，條形區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內(nèi)分別存在方向垂直于紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小均為0.3T，AA′、BB′、CC′、DD′為磁場邊界，它們相互平行，條形區(qū)域的長度足夠長，磁場寬度及BB′、CC′之間的距離d=1m．一束帶正電的某種粒子從AA′上的O點(diǎn)以沿與AA′成60°角、大小不同的速度射入磁場，當(dāng)粒子的速度小于某一值V₀時(shí)，粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t₀=4×10^-6s；當(dāng)粒子
速度為V₁時(shí)，剛好垂直邊界BB′射出區(qū)域Ⅰ．取π≈3，
不計(jì)粒子所受重力． 求：
（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）速度V₀ 和V₁的大�。�
（3）速度為V₁的粒子從O到DD′所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）若粒子的速度小于某一值v₀時(shí)，則粒子不能從BB′離開區(qū)域Ⅰ，只能從AA′邊離開區(qū)域Ⅰ，無論粒子速度大小，在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，作出該粒子的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系得出圓心角的大小，再根據(jù)周期公式得出時(shí)間與周期的關(guān)系，從而得出粒子的比荷．
（2）當(dāng)粒子速度為v₀時(shí)，粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與BB′邊界相切，根據(jù)幾何關(guān)系得出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出v₀ 的大�。�當(dāng)粒子速度為v₁時(shí)，剛好垂直邊界BB′射出區(qū)域Ⅰ．根據(jù)幾何關(guān)系得出粒子的半徑，再根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出v₁ 的大�。�
（3）速度為v₁的粒子在第一個(gè)磁場區(qū)和第二個(gè)磁場區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，根據(jù)幾何關(guān)系求出在磁場區(qū)運(yùn)動(dòng)的圓心角，從而根據(jù)周期公式求出在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子在無磁場區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出在無磁場區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）若粒子的速度小于某一值v₀時(shí)，則粒子不能從BB′離開區(qū)域Ⅰ，只能從AA′邊離開區(qū)域Ⅰ，無論粒子速度大小，在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，軌跡如圖所示（圖中只畫了一個(gè)粒子的軌跡）．
粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為φ₁=240°，
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₀=$\frac{2}{3}$T，
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{10}{3}$×10⁶C/kg≈3.3×10⁶C/kg；
（2）當(dāng)粒子速度為v₀時(shí)，粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與BB′邊界相切，
此時(shí)有：R₀+R₀sin30°=d，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$，
解得：v₀=$\frac{2}{3}$×10⁶m/s，
當(dāng)粒子速度為v₁時(shí)，剛好垂直邊界BB′射出區(qū)域Ⅰ，
此時(shí)軌跡所對圓心角φ₂=30⁰，有：R₁sinφ₂=d  
由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：v₁=2×10⁶m/s；
（3）區(qū)域I、Ⅱ?qū)挾认嗤��?br />則粒子在區(qū)域I、Ⅱ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為$\frac{{t}_{0}}{8}$，
穿過中間無磁場區(qū)域的時(shí)間為：t₁=$\fracvhwmerd{{v}_{1}}$=5×10^-7s，
則粒子從O₁到DD′所用的時(shí)間：t=$\frac{{t}_{0}}{4}$+t₁=1.5×10^-6s；
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為3.3×10⁶C/kg．
（2）速度v₀ 和v₁的大小分別為：$\frac{2}{3}$×10⁶m/s、2×10⁶m/s．
（3）速度為v₁的粒子從O到DD′所用的時(shí)間為1.5×10^-6s．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，通過幾何關(guān)系找出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑以及圓心角的大小，掌握粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式．