Question

10．一艘宇宙飛船繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于地球遮擋陽光，會(huì)經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示，太陽光可看作平行光，宇航員在A點(diǎn)測出地球的張角為α，已知地球的半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，求：
（1）宇宙飛船離距地面的高度．
（2）宇宙飛船的周期T．

Answer 1

分析 （1）由圖根據(jù)數(shù)學(xué)知識求宇宙飛船離距地面的高度．
（2）宇宙飛船繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)由地球的萬有引力提供向心力，由此求解宇宙飛船的周期T．

解答 解：（1）設(shè)飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，距離地面的高度為h．
由幾何關(guān)系知 $sin（\frac{α}{2}）=\frac{R}{r}$…①
距離地面的高度為 h=r-R…②
由①②解得：$h=\frac{{（1-sin\frac{α}{2}）}}{{sin\frac{α}{2}}}R$…③
（2）由萬有引力提供做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力得：$G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$…④

由①④解得：$T=2π\(zhòng)frac{R}{{sin（\frac{α}{2}）}}\sqrt{\frac{R}{{GMsin（\frac{α}{2}）}}}$…⑤
答：
（1）宇宙飛船離距地面的高度是$\frac{（1-sin\frac{α}{2}）R}{sin\frac{α}{2}}$．
（2）宇宙飛船的周期T為2π$\frac{R}{sin\frac{α}{2}}$$\sqrt{\frac{R}{GMsin（\frac{α}{2}）}}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵利用幾何關(guān)系得出飛船的軌道半徑，掌握萬有引力提供做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力這一基本思路，并能準(zhǔn)確運(yùn)用．