Question

18．如圖甲所示，水平直線MN下方有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)將一重力不計(jì)、比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg的負(fù)電荷從電場(chǎng)中O點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過(guò)$\frac{π}{15}$×10^-5s的時(shí)間后電荷以V₀=1.5×10⁴m/s的速度通過(guò)MN進(jìn)入其上方的均勻磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與紙面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B按圖乙所示規(guī)律周期性的變化，方向如圖甲所示，電荷第一次通過(guò)MN時(shí)計(jì)時(shí)．求：

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E及O點(diǎn)與直線MN間的距離；
（2）當(dāng)磁場(chǎng)為B₁=0.3T時(shí)的運(yùn)動(dòng)周期和半徑；
（3）如果在O點(diǎn)正右方d=66.5cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，求電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）電荷做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)量定理可解得，由位移公式可解得MN之間的距離．
（2）電荷在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑與周期．
（3）求出電荷在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與周期，分析電荷在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，再根據(jù)幾何關(guān)系可確定圓心角，從而求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）對(duì)粒子，由動(dòng)量定理得：qEt₀=mv₀-0，
解得：E=$\frac{2.25}{π}$×10⁴V/m；
粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，O與MN間的距離：d=$\frac{{v}_{0}}{2}$t₀=$\frac{π}{2}$×10^-2m；
（2）電荷在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r₁=0.05m=5cm，
電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{2π}{3}$×10^-5s；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度：B₂=0.5T時(shí)，r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$=3cm，T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{2π}{5}$×10^-5s；
在一個(gè)磁場(chǎng)周期T=$\frac{4π}{5}$×10^-5s內(nèi)，電荷沿水平方向前進(jìn)的距離為：△x=2（r₁+r₂）=16cm，
經(jīng)過(guò)4個(gè)周期電荷在水平方向向右移動(dòng)的距離：x=4△x=64cm，最后的：l=66.5-64=2.5cm如圖所示：

由幾何知識(shí)得：cosθ=$\frac{{r}_{1}-l}{{r}_{1}}$=$\frac{3-2.5}{3}$=$\frac{1}{6}$，θ≈9.59°，
最后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{θ}{360°}$T₁=$\frac{9.59°}{360°}$×$\frac{2π}{3}$×10^-5s≈0.056×10^-5s，
電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間：t=t₀+4T+t₁=$\frac{π}{15}$×10^-5+4×$\frac{4π}{5}$×10^-5+0.056×10^-5s=1.03×10^-4s；
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{2.25}{π}$×10⁴V/m，O點(diǎn)與直線MN間的距離為$\frac{π}{2}$×10^-2m；
（2）當(dāng)磁場(chǎng)為B₁=0.3T時(shí)的運(yùn)動(dòng)周期為$\frac{2π}{3}$×10^-5s，半徑為5cm；
（3）如果在O點(diǎn)正右方d=66.5cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間為1.03×10^-4s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子的運(yùn)動(dòng)情況復(fù)雜，本題具有一定的難度；分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)量定理、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律可以解題；解題時(shí)要注意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．