Question

2．如圖所示，在第一象限內(nèi)有垂直紙面向里和向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁=0.2T、B₂=0.05T，分界線OM與x軸正方向的夾角為α．在第二、三象限內(nèi)存在著沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=1×10⁴V/m．現(xiàn)有一帶電粒子由x軸上A點(diǎn)靜止釋放，從O點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域．已知A點(diǎn)橫坐標(biāo)x_A=-5×10^-2m，帶電粒子的質(zhì)量m=1.6×10^-24kg，電荷量q=+1.6×10^-15C．
（1）如果α=30^o，在OM上有一點(diǎn)P，OP=3×10^-2m，粒子從進(jìn)入O點(diǎn)計(jì)時(shí)，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間經(jīng)過(guò)P點(diǎn)？
（2）要使帶電粒子能始終在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求α的取值范圍？（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解末速度；進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，注意粒子通過(guò)直線邊界時(shí)，進(jìn)入時(shí)速度與邊界線的夾角等于離開(kāi)時(shí)速度與邊界線的夾角；
（2）正確畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)及三角函數(shù)求解．

解答 解：（1）在電場(chǎng)中加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：$qE{x_A}=\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2qE{x}_{A}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×1.6×1{0}^{-15}×1×1{0}^{4}×5×1{0}^{-2}}{1.6×1{0}^{-24}}}$m/s=1×10⁶m/s；
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$；
故${r_1}=\frac{mv}{{q{B_1}}}=\frac{{1.6×1{0^{-24}}kg×{{10}^6}m/s}}{{1.6×1{0^{-15}}C×0.2T}}=5×{10^{-3}}m$
${r_2}=\frac{mv}{{q{B_2}}}=\frac{{1.6×1{0^{-24}}kg×{{10}^6}m/s}}{{1.6×1{0^{-15}}C×0.05T}}=2×{10^{-2}}m$
粒子通過(guò)直線邊界OM時(shí)，進(jìn)入時(shí)速度與邊界線的夾角等于離開(kāi)時(shí)速度與邊界線的夾角，故經(jīng)過(guò)B₁磁場(chǎng)時(shí)沿著OM前進(jìn)r₁距離，經(jīng)過(guò)B₂磁場(chǎng)時(shí)沿著OM前進(jìn)r₂距離，由于OP=3×10^-2m=2r₁+r₂，故軌跡如圖所示：

故粒子從進(jìn)入O點(diǎn)計(jì)時(shí)，到達(dá)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：
t=$\frac{60°+60°}{360°}{T}_{1}+\frac{60°}{360°}{T}_{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{2πm}{q{B}_{1}}+\frac{1}{6}×\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{{2π×1.6×1{0^{-24}}}}{{3×1.6×1{0^{-15}}×0.2}}+\frac{{π×1.6×1{0^{-24}}}}{{3×1.6×1{0^{-15}}×0.05}}$=3.14×10^-8s
（2）由于 r₂=2r₁，畫(huà)出臨界軌跡，如圖所示：

由幾何關(guān)系解得：cosα=$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}+{r}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，故α≤arccos$\frac{2}{3}$=48.2°；
答：（1）如果α=30^o，在OM上有一點(diǎn)P，OP=3×10^-2m，粒子從進(jìn)入O點(diǎn)計(jì)時(shí)，經(jīng)3.14×10^-8s時(shí)間經(jīng)過(guò)P點(diǎn)；
（2）要使帶電粒子能始終在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，α的取值范圍為α≤48.2°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，需考生熟練掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的公式及應(yīng)用．首先根據(jù)題意，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到臨界值，求出角度．根據(jù)草圖找出粒子經(jīng)過(guò)哪些點(diǎn)，通過(guò)分析得出數(shù)學(xué)規(guī)律．