Question

【題目】如圖1所示是某游樂場(chǎng)的過山車，現(xiàn)將其簡(jiǎn)化為如圖2所示的模型：傾角、長(zhǎng)的直軌道AB與半徑的光滑圓弧軌道BCDEF在B處平滑連接，C、F為圓軌道最低點(diǎn)，D點(diǎn)與圓心等高，E為圓軌道最高點(diǎn)；圓軌道在F點(diǎn)與水平軌道FG平滑連接整條軌道寬度不計(jì)。現(xiàn)將一質(zhì)量的滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)從A端由靜止釋放。已知滑塊與AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)，與FG段的動(dòng)摩擦因數(shù)，，。

求滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；

求滑塊到達(dá)E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；

若要滑塊能在水平軌道FG上停下，求FG長(zhǎng)度的最小值x；

若改變釋放滑塊的位置，使滑塊第一次運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度剛好為零，求滑塊從釋放到它第5次返回軌道AB上離B點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，它在AB軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程s。

Answer 1

【答案】（1）0.12J；（2）0.1N；（3）0.52m；（4）0.58m

【解析】

（1）滑塊由A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的過程中，重力做正功，摩擦力做負(fù)功，設(shè)B點(diǎn)速度為，且從A端由靜止釋放，根據(jù)動(dòng)能定理可得：①

②

由①②代入數(shù)據(jù)可解得：；

（2）滑塊在BCDEF光滑圓弧軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，從B點(diǎn)到E點(diǎn)，設(shè)到達(dá)E點(diǎn)時(shí)速度為，根據(jù)動(dòng)能定理可得：

③

且由軌道對(duì)滑塊的彈力N和重力提供向心力，則有：④

根據(jù)牛頓第三定律，軌道對(duì)滑塊的彈力N和滑塊對(duì)軌道的壓力是一對(duì)相互作用力，則有：⑤

由③④⑤帶入數(shù)據(jù)可解得：；

（3）在BCDEF圓弧軌道上只有重力做功，則從B點(diǎn)到F點(diǎn)，機(jī)械能守恒，則有：

⑥

滑塊在FG軌道上由于摩擦力的作用做勻減速運(yùn)動(dòng)，且最終停下，根據(jù)動(dòng)能定理可得：⑦

由⑥⑦代入數(shù)據(jù)可解得：

（4）該變釋放滑塊的位置，設(shè)此時(shí)距離B點(diǎn)距離為，此時(shí)滑塊到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度剛好為零，根據(jù)動(dòng)能定理有：

⑧

設(shè)從D點(diǎn)第一次返回到AB軌道上離B點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)到B點(diǎn)的距離為，根據(jù)動(dòng)能定理有：

⑨

設(shè)從CD軌道第二次返回到AB軌道上離B點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)到B點(diǎn)的距離為，根據(jù)動(dòng)能定理有：

(10)

設(shè)從CD軌道第三次返回到AB軌道上離B點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)到B點(diǎn)的距離為，根據(jù)動(dòng)能定理有：(11)

設(shè)從CD軌道第四次返回到AB軌道上離B點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)到B點(diǎn)的距離為，根據(jù)動(dòng)能定理有：(12)

設(shè)從CD軌道第五次返回到AB軌道上離B點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)到B點(diǎn)的距離為，根據(jù)動(dòng)能定理有：(13)

滑塊從釋放到它第5次返回軌道AB上離B點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，它在AB軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程：

(14)

由⑧⑨(10)(11)(12)(13)(14)代入數(shù)據(jù)可解得：