Question

7．2016年2月11日，美國(guó)“激光干涉引力波天文臺(tái)”（LIGO）團(tuán)隊(duì)向全世界宣布發(fā)現(xiàn)了引力波，這個(gè)引力波來(lái)自于距離地球13億光年之外一個(gè)雙黑洞系統(tǒng)的合并．已知光在真空中傳播的速度為c，太陽(yáng)的質(zhì)量為M₀，萬(wàn)有引力常量為G．
（1）兩個(gè)黑洞的質(zhì)量分別為太陽(yáng)質(zhì)量的26倍和39倍，合并后為太陽(yáng)質(zhì)量的62倍．利用所學(xué)知識(shí)，求此次合并所釋放的能量．
（2）黑洞密度極大，質(zhì)量極大，半徑很小，以最快速度傳播的光都不能逃離它的引力，因此我們無(wú)法通過光學(xué)觀測(cè)直接確定黑洞的存在．假定黑洞為一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球形天體．
a．因?yàn)楹诙磳?duì)其他天體具有強(qiáng)大的引力影響，我們可以通過其他天體的運(yùn)動(dòng)來(lái)推測(cè)黑洞的存在．天文學(xué)家觀測(cè)到，有一質(zhì)量很小的恒星獨(dú)自在宇宙中做周期為T，半徑為r₀的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由此推測(cè)，圓周軌道的中心可能有個(gè)黑洞．利用所學(xué)知識(shí)求此黑洞的質(zhì)量M；
b．嚴(yán)格解決黑洞問題需要利用廣義相對(duì)論的知識(shí)，但早在相對(duì)論提出之前就有人利用牛頓力學(xué)體系預(yù)言過黑洞的存在．我們知道，在牛頓體系中，當(dāng)兩個(gè)質(zhì)量分別為m₁、m₂的質(zhì)點(diǎn)相距為r時(shí)也會(huì)具有勢(shì)能，稱之為引力勢(shì)能，其大小為E_p=-G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{r}$（規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零）．請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)，推測(cè)質(zhì)量為M′的黑洞，之所以能夠成為“黑”洞，其半徑R最大不能超過多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)愛因斯坦質(zhì)能方程求出合并釋放的能量．
（2）a、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出黑洞的質(zhì)量M．
b、抓住臨界狀態(tài)，即黑洞第二宇宙速度等于光速，物體脫離黑洞時(shí)速度恰好為0，結(jié)合能量守恒定律求出半徑R的最大值．

解答 解：（1）有題目敘述可知，兩個(gè)黑洞在合并時(shí)類似于發(fā)生核聚變反應(yīng)，所釋放的能量來(lái)源于質(zhì)量虧損，根據(jù)愛因斯坦質(zhì)能方程得
$△E=△m•{c}_{\;}^{2}=（26+39-62）{M}_{0}^{\;}•{c}_{\;}^{2}$=$3{M}_{0}^{\;}•{c}_{\;}^{2}$
（2）a、由題目條件可知，質(zhì)量很小的恒星在其做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道中心的黑洞吸引力下運(yùn)動(dòng)，則萬(wàn)有引力提供恒星運(yùn)動(dòng)的向心力．設(shè)恒星質(zhì)量為m，則有
$G\frac{Mm}{{r}_{0}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{0}^{\;}$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{0}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
b、這里需要閱讀前面關(guān)于黑洞的解釋，黑洞密度大，質(zhì)量極大，半徑很小，以最快速度傳播的光都不能逃離它的引力．物體想要逃離黑洞，至少要達(dá)到黑洞的第二宇宙速度，根據(jù)題目敘述可知，黑洞的第二宇宙速度大于等于光速，物體脫離黑洞是指在黑洞產(chǎn)生的引力場(chǎng)中到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)速度依然大于等于0．對(duì)于臨界情況（黑洞第二宇宙速度等于光速，物體脫離黑洞時(shí)速度恰好為0），由能量守恒定律可知
$\frac{1}{2}m{c}_{\;}^{2}+（-G\frac{M′m}{R}）=0$
解得$R=\frac{2GM′}{{c}_{\;}^{2}}$
答：（1）此合并所釋放的能量$3{M}_{0}^{\;}•{c}_{\;}^{2}$
（2）a、此黑洞質(zhì)量M為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{0}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
b、黑洞半徑最大不能超過$\frac{2GM}{{c}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合黑洞的物理現(xiàn)象考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，并能夠與愛因斯坦質(zhì)能方程相結(jié)合，有較好的創(chuàng)新型，是一道理論聯(lián)系實(shí)際的好題．