Question

10．如圖甲所示，一個(gè)豎直放置足夠長(zhǎng)的光滑U型軌道，軌道的寬度為L(zhǎng)且下端接一個(gè)阻值為R的電阻，在軌道某一區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌向里的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的上下邊界與軌道垂直，磁場(chǎng)的高度和寬度也為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖乙所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒垂直軌道固定在距磁場(chǎng)上邊界高同樣為L(zhǎng)的地方，并從t₀時(shí)刻開始釋放金屬棒，金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)在沒有離開前已經(jīng)開始勻速．（圖乙中所標(biāo)明的量均為已知，重力加速度為g）求：
（1）0-t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)R的電量；
（2）導(dǎo)體棒穿越磁場(chǎng)過(guò)程中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）金屬棒經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）在0-t₀時(shí)間內(nèi)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，結(jié)合歐姆定律得出感應(yīng)電流的大小，從而根據(jù)q=It求出0-t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)R的電量；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，抓住導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)重力和安培力相等，得出勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出克服安培力做功，得出整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量，從而求出電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）根據(jù)動(dòng)量定理，結(jié)合金屬棒經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)通過(guò)的電量，求出金屬棒經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間．

解答 解：（1）在0-t₀時(shí)間內(nèi)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得，E=$\frac{△B}{△t}S$，
又S=L²，$\frac{△B}{△t}=\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$，
解得E=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{0}}$，
則感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{0}（R+r）}$，
通過(guò)R的電量q=It₀=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R+r}$．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得，mgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，解得${v}_{1}=\sqrt{2gL}$，
金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)有：$mg={B}_{0}IL=\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
解得${v}_{m}=\frac{mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
根據(jù)動(dòng)能定理得，mgL-W_A=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量Q=W_A=$2mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
則電阻R上產(chǎn)生的熱量${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{R}{R+r}[2mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}]$．
（3）對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)量定理得，$mgt-B\overline{I}Lt=m{v}_{m}-m{v}_{1}$，
即mgt-qB₀L=mv_m-mv₁，
而q=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R+r}$，
解得t=$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{3}}{mg（R+r）}+\frac{m（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}-\frac{\sqrt{2gL}}{g}$．
答：（1）0-t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)R的電量為$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R+r}$；
（2）導(dǎo)體棒穿越磁場(chǎng)過(guò)程中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{R}{R+r}[2mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}]$；
（3）金屬棒經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間為$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{3}}{mg（R+r）}+\frac{m（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}-\frac{\sqrt{2gL}}{g}$．

點(diǎn)評(píng) 金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服安培力做功，把金屬棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為焦耳熱，在此過(guò)程中金屬棒做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)；對(duì)棒進(jìn)行受力分析、熟練應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、動(dòng)能定理等正確解題．