Question

如圖所示，光滑絕緣的水平面上方，左邊有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，右邊有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)．質(zhì)量為m，帶電量為q（正電）的點(diǎn)電荷 a，以水平向右的初速度v沿水平面進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，恰好都不脫離水平面．在勻強(qiáng)電場(chǎng)中用絕緣細(xì)線懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的不帶電的小球b（可視為質(zhì)點(diǎn)），小球處于靜止且對(duì)水平面無(wú)壓力．點(diǎn)電荷a進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后與小球b正碰并粘在一起，恰好能繞懸掛點(diǎn)O在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)．（重力加速度為g）求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（3）絕緣細(xì)線的長(zhǎng)度l．

Answer 1

分析：（1）據(jù)題，點(diǎn)電荷a以水平向右的初速度v沿水平面進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)恰好不脫離水平面，水平面對(duì)該點(diǎn)電荷沒(méi)有支持力，重力與洛倫茲力二力平衡，由平衡條件列式求解B．
（2）點(diǎn)電荷a以水平向右的初速度v向右勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，也恰好不脫離水平面，水平面對(duì)點(diǎn)電荷a也沒(méi)有支持力，點(diǎn)電荷a所受的重力和電場(chǎng)力二力平衡，由平衡條件列式，求解E．
（3）兩點(diǎn)電荷碰撞過(guò)程，遵守動(dòng)量守恒定律，由此定律求出碰后兩球的共同速度．點(diǎn)電荷 a和小球一起恰好能繞懸掛點(diǎn)O在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)．它們通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)線不受拉力作用，由重力與電場(chǎng)力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得到共同體到達(dá)最高點(diǎn)的速度，再對(duì)碰后到最高點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理得到碰后與最高點(diǎn)速度關(guān)系，聯(lián)立即可求得l．

解答：解：（1）點(diǎn)電荷a以水平向右的初速度v沿水平面進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)恰好不脫離水平面．此時(shí)水平面對(duì)點(diǎn)電荷 a沒(méi)有支持力，點(diǎn)電荷a所受的重力和洛倫茲力相等．有：
  mg=qvB
解得：B=

mg

qv

                                     
（2）點(diǎn)電荷a以水平向右的初速度v沿水平面進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)恰好不脫離水平面，以速度v沿水平面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，也恰好不脫離水平面，此時(shí)水平面對(duì)點(diǎn)電荷a沒(méi)有支持力，點(diǎn)電荷a所受的重力和電場(chǎng)力相等．有：mg=qE
解得：E=

mg

q

                                       
（3）點(diǎn)電荷a進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后與小球b正碰并粘在一起，帶正電電量為q，設(shè)共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律得：mv=2mv₁
解得：v₁=

1

2

v
點(diǎn)電荷a和小球一起恰好能繞懸掛點(diǎn)O在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)．它們通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)線不受拉力作用．點(diǎn)電荷a和小球受到重力和電場(chǎng)力，由它們的合力提供向心力，設(shè)此時(shí)它們的速度為v₂，由向心力公式得：
2mg-qE=2m

v 2 2

l

∴v₂=

1 2 gl

           
點(diǎn)電荷a和b從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
 qE?2l-2mg?2l=

1

2

?2m

v

2 2

-

1

2

?2m

v

2 1

          
將mg=qE，v₂=

1 2 gl

，v₁=

1

2

v代入得：
 2mgl-4mgl=

1

2

mgl-

1

4

mv2   
解得：l=

2v2

5g

     
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

mg

qv

；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為

mg

q

；
（3）絕緣細(xì)線的長(zhǎng)度l為

2v2

5g

．

點(diǎn)評(píng)：本題采用程序法，即按時(shí)間順序進(jìn)行分析，根據(jù)小球的運(yùn)動(dòng)情況，判斷其受力情況，并把握最高點(diǎn)的臨界條件是解題的關(guān)鍵．