Question

如圖，光滑斜面的傾角α=30°，在斜面上放置一矩形線框abcd，ab邊的邊長(zhǎng)l₁=l m，bc邊的邊長(zhǎng)l₂=0.6m，線框的質(zhì)量m=1kg，電阻R=0.1Ω，線框通過細(xì)線與重物相連，重物質(zhì)量M=2kg，斜面上ef線（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，如果線框從靜止開始運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)最初一段時(shí)間是勻速的，ef線和gh的距離s=11.4m，（取g=10.4m/s²），求：
（1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)前重物M的加速度；
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度v；
（3）ab邊由靜止開始到運(yùn)動(dòng)到gh線處所用的時(shí)間t；
（4）ab邊運(yùn)動(dòng)到gh線處的速度大小和在線框由靜止開始到運(yùn)動(dòng)到gh線的整個(gè)過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)前，對(duì)線框和重物整體，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，再根據(jù)平衡條件列式，即可求出勻速運(yùn)動(dòng)的速度v；
（3）線框abcd進(jìn)入磁場(chǎng)前時(shí)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；進(jìn)磁場(chǎng)的過程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后到運(yùn)動(dòng)到gh線，仍做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可確定運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（4）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出ab邊運(yùn)動(dòng)到gh線處的速度．M的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為m的重力勢(shì)能和線框中的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解焦耳熱．

解答：解：（1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)前，線框僅受到細(xì)線的拉力F_T，斜面的支持力和線框重力，重物M受到重力和拉力F_T．
對(duì)線框，由牛頓第二定律得   F_T-mg sinα=ma      
聯(lián)立解得，線框進(jìn)入磁場(chǎng)前重物M的加速度  a=

Mg-mgsinα

M+m

=5m/s²
（2）因?yàn)榫�框進(jìn)入磁場(chǎng)的最初一段時(shí)間做勻速運(yùn)動(dòng)，所以重物受力平衡  Mg=F_T′，
線框abcd受力平衡  F_T′=mg sinα+F_A
ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)切割磁感線，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì) E=Bl₁v    
形成的感應(yīng)電流 I=

E

R

=

Bl1v

R

受到的安培力 F_A=BIL₁
聯(lián)立上述各式得，Mg=mg sinα+

B2 l 2 1 v

R

代入數(shù)據(jù)解得  v=6m/s
（3）線框abcd進(jìn)入磁場(chǎng)前時(shí)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；進(jìn)磁場(chǎng)的過程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后到運(yùn)動(dòng)到gh線，仍做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
進(jìn)磁場(chǎng)前線框的加速度大小與重物的加速度相同，為a=5 m/s²
該階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為  t₁=

v

a

=

6

5

s=1.2s
進(jìn)磁場(chǎng)過程中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間  t₂=

l2

v

=

0.6

6

s=0.1s
線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)后線框受力情況同進(jìn)入磁場(chǎng)前，所以該階段的加速度仍為a=5m/s²
   s-l₂=vt₃+

1

2

at

2 3

解得：t₃=1.2 s
因此ab邊由靜止開始運(yùn)動(dòng)到gh線所用的時(shí)間為 t=t₁+t₂+t₃=2.5s  
（4）線框ab邊運(yùn)動(dòng)到gh處的速度  v′=v+at₃=6 m/s+5×1.2 m/s=12m/s  
整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的焦耳熱  Q=F_Al₂=（Mg-mgsinθ）l₂=9J  
答：
（1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)前重物M的加速度是5m/s²；
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度v是6m/s；
（3）ab邊由靜止開始到運(yùn)動(dòng)到gh線處所用的時(shí)間是2.5s；
（4）ab邊運(yùn)動(dòng)到gh線處的速度大小和在線框由靜止開始到運(yùn)動(dòng)到gh線的整個(gè)過程中產(chǎn)生的焦耳熱是9J．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力平衡的綜合，安培力的計(jì)算是關(guān)鍵．本題中運(yùn)用的是整體法求解加速度．