Question

8．如圖甲所示，A、B是兩個平行金屬板，有一不計重力的帶電粒子沿A、B板中軸線OO′方向以速度v₀射入電場．在A、B板之間加如圖乙所示的周期性變化的電壓．若粒子在t=0時刻射入電場，則粒子恰好能在t=$\frac{T}{2}$時刻從B板的下邊緣離開電場．已知兩極板間的距離為d，兩極板間電壓為U₀．變化周期T未知，帶電粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m．求：
（1）粒子飛出電場時的速度的大小；
（2）若粒子在t=$\frac{T}{4}$時刻射入，粒子離開電場位置距B極板距離d′．

Answer 1

分析 （1）粒子做類似平拋運動，水平分運動是勻速直線運動，豎直分運動是初速度為零的勻加速直線運動，根據(jù)分運動公式列式求解分速度，再合成得到合速度；
（2）若粒子在t=0時刻射入電場，則粒子恰好能在t=$\frac{T}{2}$時刻從B板的下邊緣離開電場，根據(jù)分位移公式列式；若粒子在t=$\frac{T}{4}$時刻射入，同樣分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的變速運動進(jìn)行考慮．

解答 解：（1）粒子在電場中運動的加速度為：a=$\frac{qE}{m}=\frac{q{U}_{0}}{md}$
出電場時豎直方向的速度設(shè)為v_y，則有：${v}_{y}^{2}=2a•\fracnz22g6p{2}=\frac{q{U}_{0}}{m}$
故出電場時的速度為：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{q{U}_{0}}{m}}$
（2）根據(jù)（1）式，有：$\fracaep1qt6{2}=\frac{1}{2}a•（\frac{T}{2}）^{2}$
水平方向以v₀做勻速運動，即粒子在磁場中運動時間仍然為$\frac{T}{2}$．
豎直方向，在前$\frac{T}{4}$以a做初速度為零的勻加速運動，位移：
$x=\frac{1}{2}a•（\frac{T}{4}）^{2}=\fracyjp7r6s{8}$
在后$\frac{T}{4}$以a向下做勻減速運動，根據(jù)運動的對稱性，可知，位移也為$\fraczgx62o2{8}$，所以離開電場時距B板的距離為：
d′=$\fracmlfulua{2}-2×\fraczvf1w9z{8}=\fracvixdczs{4}$
答：（1）粒子飛出電場時的速度的大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{q{U}_{0}}{m}}$；
（2）若粒子在t=$\frac{T}{4}$時刻射入，粒子離開電場位置距B極板距離d′為$\fracrn1d1hf{4}$．

點評 本題關(guān)鍵是采用采用正交分解法研究粒子的運動，水平分運動是勻速直線運動，豎直分運動是勻變速直線運動，結(jié)合類似平拋運動的分運動規(guī)律進(jìn)行分析即可．