Question

2．如圖所示，在0≤x≤3a、0≤y≤a范圍內有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B坐標，原點O處有一個粒子源，朝第一象限各個方向發(fā)射大量各種速度的某種帶正電粒子，已知粒子質量為m，電荷量為q，不計粒子重力．
（1）若所有粒子都無法從CD邊射出，求粒子速度的最大值：
（2）對于能從C點射出磁場的粒子，求在磁場中運動的最長時間（．可用反三角函數喪示）

Answer 1

分析 （1）臨界情況是軌跡圓與AC邊相切且粒子從D點射出，畫出軌跡，結合幾何關系得到軌道半徑，根據牛頓第二定律列式求解出最大速度；
（2）能夠從C點射出的粒子，如果速度最大，則軌道半徑最小，對應的圓心角最大，臨界情況是軌跡與AC相切且經過C點，畫出軌跡，結合幾何關系得到軌道半徑，根據t=$\frac{θ}{2π}T$求解時間．

解答 解：（1）畫出臨界軌跡，如圖所示：

結合幾何關系，有：
R²=（1.5a）²+（R-a）²
解得：
R=1.625a
根據牛頓第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯立解得：
$v=\frac{13qBa}{8m}$
（2）當軌跡與AC相切且經過C點時，在磁場中運動的時間最長，軌跡如圖：

結合幾何關系，有：
R²=（3a）²+（R-a）²
解得：
R=5a
根據牛頓第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯立解得：
$v=\frac{5qBa}{m}$
sinθ=$\frac{3a}{R}=0.6$
故θ=37°=$\frac{37°}{360°}×2π$≈0.65rad
故運動時間為：
t=$\frac{θR}{v}$=$\frac{0.65×5a}{\frac{5qBa}{m}}$=$\frac{0.65m}{qB}$
答：（1）若所有粒子都無法從CD邊射出，粒子速度的最大值為$\frac{13qBa}{8m}$；
（2）對于能從C點射出磁場的粒子，在磁場中運動的最長時間為$\frac{0.65m}{qB}$．

點評 本題關鍵是明確粒子的運動規(guī)律，找出臨界軌跡，結合幾何關系求解軌道半徑，結合牛頓第二定律列式求解．