Question

18．如圖所示，半徑為r、圓心為O₁的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)右側(cè)有一豎直放置的平行金屬板M和N，兩板間距離為L(zhǎng)，在M、N板中央各有一個(gè)小孔O₂、O₃．  O₁、O₂、O₃在同一水平直線上，與平行金屬板相接的是兩條豎直放置間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)體棒PQ與導(dǎo)軌接觸良好，與阻值為R的電阻形成閉合回路（導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻不計(jì)），該回路處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，整個(gè)裝置處在真空室中．靜止釋放導(dǎo)體棒，當(dāng)其速度達(dá)到穩(wěn)定后有一個(gè)電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子（重力不計(jì)），以速率v₀從圓形磁場(chǎng)邊界上的最低點(diǎn)E沿半徑方向射入磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后沿O₂ O₃連線進(jìn)入板間，恰好不能從O₃射出，而從圓形磁場(chǎng)的最高點(diǎn)F射出，重力加速度為g，求：
（1）圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′；
（2）射入的粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）導(dǎo)體棒的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合即可；
（2）分析可知粒子在磁場(chǎng)中做兩個(gè)$\frac{1}{4}$圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)至速度為零，然后再反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)返回磁場(chǎng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性加速和減速時(shí)間相同，分別求粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，加和即可；
（3）根據(jù)導(dǎo)體棒速度達(dá)到穩(wěn)定，即做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力和安培力受力平衡，列平衡方程解決即可．

解答 解：（1）在圓形磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，有：qv₀B′=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
因?yàn)榱Ｗ悠�轉(zhuǎn)后能沿O₂ O₃連線進(jìn)入板間，所以根據(jù)幾何關(guān)系知：R=r
聯(lián)立得：$B'=\frac{{mv_0^{\;}}}{qr}$
（2）粒子整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₁，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₂
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$
磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πr}{{v}_{0}}$
電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t_2}=2×\frac{L}{{\frac{v_0}{2}}}=\frac{4L}{v_0}$
總時(shí)間為：$t={t_1}+{t_2}=\frac{πr}{v_0}+\frac{4L}{v_0}$
（3）分析可知，粒子恰好不能從O₃射出的條件為恰好運(yùn)動(dòng)到O₃速度減為0，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
設(shè)棒的質(zhì)量為M，PQ勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，
根據(jù)受力平衡可得：Mg=F_安
根據(jù)安培力公式得：F_安=BIL
根據(jù)歐姆定律：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{U}{R}$
導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)有：E=BLv
聯(lián)立以上各式得：$M=\frac{BLm}{2gqR}v_0^2$
答：（1）圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′為$\frac{{mv}_{0}}{qr}$；
      （2）射入的粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{πr}{{v}_{0}}+\frac{4L}{{v}_{0}}$；
      （3）導(dǎo)體棒的質(zhì)量為$\frac{BLm}{2gqR}{v}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)和帶電粒子在加速電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)以及電磁感應(yīng)定律導(dǎo)體棒切割磁感線模型，考查內(nèi)容都比較基礎(chǔ)，難度不大．大家要牢記典型運(yùn)動(dòng)過(guò)程的處理方法．例如本題，在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)用洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系解決軌跡半徑，加速電場(chǎng)運(yùn)用動(dòng)能定理解決，最后導(dǎo)體棒切割磁感線，根據(jù)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)列平衡方程去解決．