Question

10．如圖，一長木板A放在水平地面上．可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊B靜止放在距A左端為L₀的木板上；與B完全相同的C以水平初速度v₀沖上A并能與B相碰，B、C碰后粘在一起不再分開并一起向右運(yùn)動(dòng)．已知：A、B、C的質(zhì)量均為m；重力加速度為g；B、C與A的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{1}{4}$，A與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=$\frac{1}{8}$，v₀²=$\frac{9}{2}$gL₀，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．求：

（1）物塊C沖上木板瞬間，物塊C的加速度為多少？
（2）C與B發(fā)生碰撞前后的速度大小為多少？
（3）為使B、C結(jié)合體不從A右端掉下來，A的長度至少要多長？

Answer 1

分析 （1）物塊C沖上木板瞬間，由牛頓第二定律求出加速度；
（2）對物體C運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解碰撞前速度；對碰撞過程根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式求解碰撞后的速度；
（3）先對BC整體、A分別受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，當(dāng)速度相等時(shí)不掉來即可，再結(jié)合動(dòng)能定理列式求解．

解答 解：（1）C沖上A后，C受到的摩擦力大小為：f_C=μ₁mg=$\frac{1}{4}$mg，
由牛頓第二定律得：f_C=ma_C，
解得：a_C=$\frac{1}{4}$g；
（2）C沖上A后，A受地面的最大靜摩擦力大小為：
${f_{Am}}={μ_2}（3m）g=\frac{3}{8}mg$，
由于f_Am＞f_C，所以A、B保持靜止，
即加速度a_A=0，a_B=0，所以C在A上做減速運(yùn)動(dòng)，
設(shè)其碰前速度為v_C，由動(dòng)能定理得：$-{μ_1}mg{L_0}=\frac{1}{2}m{v_c}^2-\frac{1}{2}m{v_0}^2$，
滑塊B、C碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，設(shè)碰后速度為v_BC，由動(dòng)量守恒定律得：
mv_c=2mv_BC，
解得：v_BC=$\sqrt{g{L}_{0}}$；
（3）B、C結(jié)合體受到A的摩擦力：f_BC=μ₁•2mg=$\frac{1}{2}$mg，方向向左．根據(jù)牛頓第三定律，結(jié)合體給A向右的摩擦力為：
f_BC′=f_BC＞f_Am，
故A做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，BC做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)剛達(dá)到的共同速度為v_ABC，由牛頓第二定律知：
對BC：f_BC=2ma_BC，
對A：f'_BC-f_Am=ma'_A，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：v_ABC=v_BC-a_BCt，v_ABC=a'_At，
設(shè)A從運(yùn)動(dòng)到共速，對地的位移為s_AB，BC在這段時(shí)間的對地位移為s_BC，由動(dòng)能定理得：
對BC：-f_BCs_BC=$\frac{1}{2}$•2mv_ABC²-$\frac{1}{2}$•2mv_BC²，
對A：（f_BC-f_A）s_AB=$\frac{1}{2}$mv_ABC²，
結(jié)合體BC在A上運(yùn)動(dòng)的距離為：△L=s_BC-s_AB，
若達(dá)到共同速度v_ABC時(shí)，結(jié)合體BC恰好運(yùn)動(dòng)至木板A的最右端，木板長度最少為：
L=L₀+△L=$\frac{7}{3}$L₀；
答：（1）物塊C沖上木板瞬間，物塊C的加速度為$\frac{1}{4}$g；
（2）C與B發(fā)生碰撞前后的速度大小為$\sqrt{g{L}_{0}}$；
（3）為使B、C結(jié)合體不從A右端掉下來，A的長度至少為$\frac{7}{3}$L₀．

點(diǎn)評(píng) 本考查了多體多過程問題，分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題．