Question

10．自由式滑雪的運(yùn)動(dòng)模型可簡化為如圖所示，小球質(zhì)量為m，從高為H的曲面上A點(diǎn)自由釋放并無摩擦地滾入光滑圓弧槽BC，已知圓弧槽BC所對(duì)的圓心角為45°，圓弧半徑為R，CD是一個(gè)平臺(tái)，寬、高都為h．求：
（1）小球到B點(diǎn)時(shí)對(duì)B點(diǎn)的壓力；
（2）小球從C點(diǎn)飛出到落到D點(diǎn)這一過程中在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）為使小球能落在CD之間，求$\frac{h}{H}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小球從A到B過程，由機(jī)械能守恒定律求出小球到B點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解小球?qū)�B點(diǎn)的壓力．
（2）先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球到C點(diǎn)的速度．小球離開C點(diǎn)后做斜拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求時(shí)間．
（3）為使小球能落在CD之間，斜拋的水平位移應(yīng)滿足：0＜x≤h，由水平位移與時(shí)間的關(guān)系和機(jī)械能守恒結(jié)合解答．

解答 解：（1）從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，小球的機(jī)械能守恒，則
  mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點(diǎn)，小球受到重力和支持力，由這兩個(gè)力的合力提供向心力，則
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得  N=mg+$\frac{2mgH}{R}$
由牛頓第三定律得，小球到B點(diǎn)時(shí)對(duì)B點(diǎn)的壓力大小為mg+$\frac{2mgH}{R}$，方向豎直向下．
（2）小球到C點(diǎn)時(shí)，有 mg（H-h）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得 v_C=$\sqrt{2g（H-h）}$
方向與水平方向成45°角，小球從C點(diǎn)飛出后做斜拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，回到CD平臺(tái)的時(shí)間為 
   t=$\frac{2{v}_{C}sin45°}{g}$=2$\sqrt{\frac{H-h}{g}}$
（3）小球從C點(diǎn)飛出后在t時(shí)間內(nèi)水平飛行的距離為
  x=v_Ccos45°•t=2（H-h）
為使小球能落在CD之間，則須滿足：0＜x≤h，
聯(lián)立得 $\frac{2}{3}$≤$\frac{h}{H}$＜1
答：
（1）小球到B點(diǎn)時(shí)對(duì)B點(diǎn)的壓力是mg+$\frac{2mgH}{R}$，方向豎直向下．
（2）小球從C點(diǎn)飛出到落到D點(diǎn)這一過程中在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是2$\sqrt{\frac{H-h}{g}}$．
（3）為使小球能落在CD之間，$\frac{h}{H}$的取值范圍是$\frac{2}{3}$≤$\frac{h}{H}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究斜拋運(yùn)動(dòng)，知道斜拋運(yùn)動(dòng)水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向是豎直上拋運(yùn)動(dòng)．