Question

14．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)平行光滑的固定金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α，導(dǎo)軌上端跨接一定值電阻R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．整個(gè)裝置處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于軌道平面向上，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒cd垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌保持良好接觸，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為r，重力加速度為g，現(xiàn)將金屬棒從緊靠NQ處由靜止釋放，當(dāng)金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s時(shí)，速度達(dá)到最大值v_m．求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（3）若將金屬棒下滑s的時(shí)刻記作t=0，假設(shè)此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知，從此時(shí)刻起，讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，請(qǐng)推導(dǎo)這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度B與時(shí)間t的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)棒子開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，又會(huì)受到水平向右的安培力，棒子做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度減小到0時(shí)，速度達(dá)到最大．根據(jù)最終達(dá)到平衡，列出平衡方程，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過(guò)程中，重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒先求出整個(gè)電路產(chǎn)生的熱量，再求出電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（3）使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，回路中磁通量應(yīng)不變，根據(jù)t時(shí)刻的磁通量與t=0時(shí)刻的磁通量相等，此時(shí)棒不受安培力，做勻加速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．

解答 解：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，
則金屬棒最大速度時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E=BLv_m，
回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流：$I=\frac{E}{R+r}$，
金屬棒所受的安培力：F=BIL，
cd棒所受合外力為零時(shí)，下滑的速度達(dá)到最大，
由平衡條件得：mgsinα=F，
解得：$B=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（R+r）sinα}{v_m}}$；
（ 2）設(shè)電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱為Q_熱，
由能量守恒定律得：$mgs•sinα=\frac{1}{2}mv_m^2+{Q_總}(cāng)$，
R上產(chǎn)生的熱量：$Q=\frac{R}{R+r}{Q_總}(cāng)$，
解得：$Q=\frac{R}{R+r}（mgs•sinα-\frac{1}{2}m{v_m}^2）$；
（3）金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流時(shí)沒(méi)有安培力，金屬棒的加速度大小為a，
由牛頓第二定律得：mgsinα=ma，解得：a=gsinα，
由磁通量不變得：${B_0}Ls=BL（s+{v_m}t+\frac{1}{2}a{t^2}）$，
解得：$B=\frac{{{B_0}s}}{{s+{v_m}t+\frac{1}{2}g{t^2}•sinα}}$；
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mg（R+r）sinα}{{v}_{m}}}$；
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量為$\frac{R}{R+r}$（mgs•sinα-$\frac{1}{2}$mv_m²）；
（3）這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度B與時(shí)間t的關(guān)系式是：$B=\frac{{{B_0}s}}{{s+{v_m}t+\frac{1}{2}g{t^2}•sinα}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵會(huì)根據(jù)牛頓第二定律求加速度，以及結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)能夠分析出金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)a=0時(shí)，速度達(dá)到最大．掌握不產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件：磁通量不變．