Question

13．半徑為R的光滑半圓形軌道固定在水平地面上，一個質(zhì)量為m的小球以某一初速度從A點沖上該軌道后，恰能通過該軌道的最高點B，最終落到水平地面上的C點，如圖所示．
試求：（1）小球通過軌道起點A時的初速度v_o的大小
（2）小球到達AB圓弧中點D時對軌道的壓力F的大小
（3）小球到達落點C時的速度vc的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球在B點受重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式得到小球在B點的速度，然后結合A到B的機械能守恒即可求出小球的初速度；
（2）先求出小球到達D點的速度，然后根據(jù)向心加速度的公式列式求解即可；
（3）從軌道口B處水平飛出后，小球做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律可以求得小球到達落點C時的速度vc的大小．

解答 解：（1）小球恰好通過B點：$mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
得：${v}_{B}=\sqrt{gR}$
由A到B應用動能定理（或機械能守恒）
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)：${v}_{0}=\sqrt{5gR}$
（2）A到D的過程中，根據(jù)動能定理：$-mgR=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{D}=\sqrt{3gR}$
在D點受力分析：$F=\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}=3mg$
根據(jù)牛頓第三定律，小球到達AB圓弧中點D時對軌道的壓力F的大小也是3mg．
（3）由于A、C等高，因此這個過程中重力不做功
根據(jù)動能定理：$0=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以${v}_{C}={v}_{0}=\sqrt{5gR}$
答：（1）小球通過軌道起點A時的初速度v_o的大小是$\sqrt{5gR}$；
（2）小球到達AB圓弧中點D時對軌道的壓力F的大小是3mg；
（3）小球到達落點C時的速度vc的大小是$\sqrt{5gR}$．

點評 本題是牛頓第二定律、向心力公式、平拋運動規(guī)律的綜合運用問題，關鍵理清小球的運動情況，然后分階段列式求解．