Question

9．如圖所示，半徑為R的半球形容器，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過容器球心O的對稱軸OO′重合，轉臺以一定的角速度ω勻速轉動且相對容器壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為45°，重力加速度為g．
（1）若ω=ω₀時，小物塊受到的摩擦恰好為零，求ω₀？
（2）若ω＞ω₀，求小物塊受到的摩擦力大小和方向？

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出角速度的大小．
（2）當ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�

解答 解：（1）當摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtan45°=$mRsin45°{{ω}_{0}}^{2}$，
解得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
（2）若ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據牛頓第二定律得：
fcos45°+Ncos45°=mRsin45°ω²．
fsin45°+mg=Nsin45°
聯立兩式解得：f=$\frac{1}{2}mR{ω}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mg$
答：（1）若ω=ω₀時，小物塊受到的摩擦恰好為零，則ω₀為$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$；
（2）若ω＞ω₀，小物塊受到的摩擦力大小為$\frac{1}{2}mR{ω}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mg$，方向沿罐壁切線向下．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解．