Question

10．如圖1所示，在光滑絕緣的水平面上，存在平行于水平面向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=1.0×10⁵N/C．水平面上放置兩個(gè)靜止的小球A和B（均可看作質(zhì)點(diǎn)），兩小球質(zhì)量均為m=0.10kg，A球帶電量為Q=+1.0×10^-5C，B球不帶電，A、B連線與電場(chǎng)線平行．開始時(shí)兩球相距L=5.0cm，在電場(chǎng)力作用下，A球開始運(yùn)動(dòng)（此時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，即t=0），后與B球發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞過(guò)程中A、B兩球總動(dòng)能無(wú)損失，碰后兩球交換速度．設(shè)在各次碰撞過(guò)程中，A、B兩球間無(wú)電量轉(zhuǎn)移，且不考慮兩球碰撞時(shí)間及兩球間的萬(wàn)有引力．求：

（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間B球的速度為多大？從A球開始運(yùn)動(dòng)到發(fā)生第一次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間是多少？
（2）分別在如圖2的坐標(biāo)系中，用實(shí)線作出A、B兩球從計(jì)時(shí)零點(diǎn)開始到即將發(fā)生第三次碰撞這段時(shí)間內(nèi)的v-t圖象．要求寫出必要的演算推理過(guò)程．
（3）從計(jì)時(shí)零點(diǎn)開始到即將發(fā)生第三次碰撞的這段時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)力共做了多少功？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出．
（2）碰撞后A、B兩球交換速度，A球先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，碰撞后速度為零，又開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，與B球碰撞后交換速度，以B球的速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
對(duì)于B球，開始靜止，碰撞后交換速度，交換速度后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（3）通過(guò)牛頓定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出第三次碰撞后A、B的速度，結(jié)合能量守恒求出電場(chǎng)力做的功．

解答 解：（1）A球的加速度為a=$\frac{QE}{m}$=10 m/s²
第一次碰撞前A的速度為v_A=$\sqrt{2aL}$=1 m/s
第一次碰撞后A的速度為v_A′=0
第一次碰撞后B的速度為v_B1′=v_A1=1 m/s
從開始計(jì)時(shí)到第一次碰撞時(shí)間為t₁=$\frac{{v}_{A1}}{a}$=0.1 s
（2）第一次碰撞后，A球做初速度為0、加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，B球做速度為v_B1′的勻速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)在t₂時(shí)刻發(fā)生第二次碰撞，由兩次碰撞之間兩球位移相等得
v_B1′（t₂-t₁）=$\frac{1}{2}$a（t₂-t₁）² 
代入數(shù)據(jù)解得t₂=3t₁=0.3s
設(shè)第二次碰撞前時(shí)間A、B兩球速度分別為v_A2和v_B2，則
v_A2=a（t₂-t₁）=2m/s     
v_B2=v_B1′=1m/s
設(shè)第二次碰撞后瞬間A、B兩球速度分別為v_A2′和v_B2′，由碰撞后交換速度可得
v_A2′=v_B2′=1m/s        v_B2′=v_A2=2m/s
設(shè)t₃時(shí)刻發(fā)生第三次碰撞，由兩球位移相等有
v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+$\frac{1}{2}$a（t₃-t₂）²
解得 t₃=0.5s
設(shè)第三次碰撞前瞬間A、B兩球速度分別為v_A3和v_B3，則
v_A3=v_A2′+a（t₃-t₂）=3m/s     v_B3=v_B2′=2m/s
這段過(guò)程的υ-t圖象如下圖所示．

（3）從計(jì)時(shí)零點(diǎn)開始到即將發(fā)生第三次碰撞的這段過(guò)程中，電場(chǎng)力共做的功為
W=$\frac{1}{2}$mv_A3²+$\frac{1}{2}$mv_B3²=0.65J
答：（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間B球的速度為1m/s，從A球開始運(yùn)動(dòng)到發(fā)生第一次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間是0.1s．
（2）分別在如圖2的坐標(biāo)系中，用實(shí)線作出A、B兩球從計(jì)時(shí)零點(diǎn)開始到即將發(fā)生第三次碰撞這段時(shí)間內(nèi)的v-t圖象如圖．
（3）從計(jì)時(shí)零點(diǎn)開始到即將發(fā)生第三次碰撞的這段時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)力共做了0.65J的功．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道質(zhì)量相等的小球發(fā)生彈性碰撞，速度交換，以及知道兩球在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，找出規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律、能量守恒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．