Question

如圖所示，一個半徑為R的光滑圓弧軌道APB豎直固定放置，PQ為其豎直對稱軸，∠AOQ與∠BOQ都等于θ．現(xiàn)讓一可看做質(zhì)點的小球在軌道內(nèi)側(cè)運動，當其沖出A點后恰好可以從B點再進入軌道，所以此運動可以周而復始進行．已知小球質(zhì)量為m，重力加速度為g，試求：
（1）小球離開軌道后的最高點距直線AB的距離；
（2）若要小球在最低點時對軌道的壓力最小，θ應(yīng)為多少？對應(yīng)的最小壓力為多少？

Answer 1

分析：（1）將速度進行分解，在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做豎直上拋運動，根據(jù)運動學規(guī)律，結(jié)合幾何關(guān)系求出小球離開軌道后上升到最高點距直線AB的距離．
（2）根據(jù)動能定理和牛頓第二定律求出物體在最低點所受的支持力的大小，根據(jù)數(shù)學求極值的方法求出最小值．

解答：解：（1）物體剛沖出A點時，將物體的速度分解有：
v₁=vcosθ… ①
v₂=vsinθ…②
在拋出到最高點過程中，水平方向上為勻速直線運動，有：Rsinθ=v₁t…③
豎直方向上為勻變速直線運動，末速度為零，逆過來看是自由落體運動．有
v₂=gt…④
h=

1

2

gt2…⑤
由①②③④解得v=

gR cosθ

… ⑥
t=sinθ

R gcosθ

…  ⑦
由⑤得，h=

Rsin2θ

2cosθ

… ⑧
（2）設(shè)物體在最低點的速度為v′，則物體從A到運動到最低點的過程中，由動能定理得，
mgR(1-cosθ)=

1

2

m(v′2-v2)…  ⑨
在最低點由向心力公式得，
N-mg=m

v′2

R

… ⑩
由⑥⑨⑩得，N=mg（3+2cosθ+

1

cosθ

）
分析知當θ=45°時，N最小，為N=(3+2

2

)mg．
答：（1）小球離開軌道后的最高點距直線AB的距離為

Rsin2θ

2cosθ

．
（2）當θ=45°時，壓力最小，為N=(3+2

2

)mg．

點評：本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律等知識，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強該類題型的訓練．