Question

7．游樂場(chǎng)的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來．我們把這種情形抽象為如圖所示的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端從靜止?jié)L下后，進(jìn)入圓軌道下端并沿圓軌道運(yùn)動(dòng)．如果h可調(diào)，圓軌道的半徑為R，不考慮摩擦等阻力，為使小球不脫離軌道，則h的取值范圍是（　　）

• A． h＞$\frac{5}{2}R$
• B． h＞R
• C． h＜R
• D． R＜h＜$\frac{5}{2}R$

Answer 1

分析 小球不脫離軌道有兩種情形：一種小球能通過最高點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．另一種小球下半個(gè)圓軌道上來回運(yùn)動(dòng)．當(dāng)小球恰能通過最高點(diǎn)時(shí)由重力作為向心力，由向心力的公式可以求得小球通過最高點(diǎn)的臨界速度，再由機(jī)械能守恒可以求得離地面的高度h．當(dāng)小球恰好通過與軌道圓心等高位置時(shí)速度為零，由機(jī)械能守恒求此時(shí)的h，即可得到h的范圍．

解答 解：小球恰能通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力，
即應(yīng)滿足：mg=$\frac{{v}^{2}}{R}$         
小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv²，解得：h=$\frac{5}{2}$R．故當(dāng)h＞$\frac{5}{2}$R時(shí)小球不脫離軌道，且能通過圓軌道的最高點(diǎn)．
當(dāng)小球恰好通過與軌道圓心等高位置時(shí)速度為零，由機(jī)械能守恒得 mg=mgR，h=R，則當(dāng)h＜R時(shí)，小球也不脫離軌道．
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于圓周運(yùn)動(dòng)中繩的模型，在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是重力恰好作為圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)中的兩種模型一定要牢牢的掌握．