Question

8．如圖所示，相距L的兩小球A、B位于同一高度h（L、h均為定值）．將A向B水平拋出的同時，B自由下落，A、B與地面碰撞前后，水平分速度不變，豎直分速度大小不變．方向相反．不計空氣阻力及小球與地面碰撞的時間．勻強電場方向水平向右，場強大小為E，小球A、B質量均為m，A帶電量為+q，小球B不帶電．水平地面絕緣，重力加速度取g．求：
（1）要使A、B兩小球在第一次落地前相遇，A水平拋出的初速度v₀應滿足的條件．
（2）要使A、B兩小球在最高點相遇，A水平拋出的初速度v₀應滿足的條件．
（3）若B帶電量為+2q，要使B球第3次落地時被A追上，A水平拋出的初速度v₀應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）兩球在豎直方向都做自由落體運動，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$求出兩球相遇的時間t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．要使A、B兩小球在第一次落地前相遇，A球的水平位移必須滿足x_水＞L．根據(jù)位移時間公式列式求解．
（2）A、B兩小球在最高點相遇時，所用時間應為 t_總=2nt（n=1，2，3…），且x_水=L，根據(jù)位移時間公式求解．
（3）要使B球第3次落地時被A追上時，所用時間為 t₃=5t．兩球的水平位移關系為 x_A-x_B=L，由牛頓第二定律求出B球的水平分加速度，根據(jù)位移公式和位移關系求解．

解答 解：（1）兩球在豎直方向均有 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
對于A球：水平方向有 F_電=qE=ma_水，得
 a_水=$\frac{qE}{m}$
水平位移大小 x_水=v₀t+$\frac{1}{2}$a_水t²=v₀t+$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}$t²；
根據(jù)題意，有x_水＞L
解得 v₀＞$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（L-$\frac{qEh}{mg}$）
（2）A、B兩小球在最高點相遇時，所用時間 t_總=2nt（n=1，2，3…）
x_水=L
即v₀t_總+$\frac{1}{2}$a_水t_總²=v₀t_總+$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}$t_總²=L
解得 v₀=$\frac{1}{2n}$（L-$\frac{4{n}^{2}qEh}{mg}$），（n=1，2，3…）
（3）要使B球第3次落地時被A追上時，所用時間為 t₃=5t
B球水平分加速度為 a_B=$\frac{E•2q}{m}$=$\frac{2qE}{m}$
追上時位移關系為 x_A-x_B=L
即v₀t₃+$\frac{1}{2}$$•\frac{qE}{m}$t₃²-$\frac{1}{2}{a}_{B}{t}_{3}^{2}$=L
解得 v₀=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（L+$\frac{12Eqh}{mg}$）
答：
（1）要使A、B兩小球在第一次落地前相遇，A水平拋出的初速度v₀應滿足的條件為v₀＞$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（L-$\frac{qEh}{mg}$）．
（2）要使A、B兩小球在最高點相遇，A水平拋出的初速度v₀應滿足的條件為v₀=$\frac{1}{2n}$（L-$\frac{4{n}^{2}qEh}{mg}$），（n=1，2，3…）．
（3）若B帶電量為+2q，要使B球第3次落地時被A追上，A水平拋出的初速度v₀應滿足的條件為v₀=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（L+$\frac{12Eqh}{mg}$）．

點評 本題運用運動的分解法研究兩球的運動規(guī)律和相遇條件，要知道兩球豎直方向都做自由落體運動，關鍵要抓住相遇時位移必須滿足的條件，由牛頓第二定律和運動學規(guī)律結合解答．