Question

10．我國(guó)于2013年12月發(fā)射了“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星，該衛(wèi)星在距月球表面H處的環(huán)月軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)行的周期為T，隨后“嫦娥三號(hào)”在該軌道上A點(diǎn)采取措施，降至近月點(diǎn)高度為h的橢圓軌道Ⅱ上，如圖所示．若以R表示月球的半徑，忽略月球自轉(zhuǎn)及地球?qū)πl(wèi)星的影響，萬有引力常量為G，求：
（1）月球的質(zhì)量
（2）月球的第一宇宙速度
（3）“嫦娥三號(hào)”在圖中橢圓軌道Ⅱ上的周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得中心天體月球的質(zhì)量；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得月球的第一宇宙速度；
（3）根據(jù)開普勒第三定律求得在橢圓軌道上的周期．

解答 解：（1）由題意知，在軌道I上衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m（R+H）（\frac{2π}{T}）^{2}$
可得月球質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）第一宇宙速度是近月衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得月球的第一宇宙速度為：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{2π}{RT}\sqrt{R（R+H）^{3}}$
（3）根據(jù)開普勒第三定律：在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上的周期滿足：
$\frac{{R}_{I}^{3}}{{T}_{I}^{2}}=\frac{{R}_{II}^{3}}{{T}_{II}^{2}}$
可得衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的周期為：
${T}_{II}=\sqrt{\frac{{R}_{II}^{3}}{{R}_{I}^{3}}}{T}_{I}$=$\sqrt{（\frac{\frac{2R+H+h}{2}}{R+H}}）^{3}T$=$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}T$
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球的第一宇宙速度為$\frac{2π}{RT}\sqrt{R（R+H）^{3}}$；
（3）“嫦娥三號(hào)”在圖中橢圓軌道Ⅱ上的周期為$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}T$．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力與萬有引力與重力相等，這是萬有引力應(yīng)用的主要解題入手點(diǎn)，掌握萬有引力及向心力的不同表達(dá)式是正確解題的基礎(chǔ)，不難屬于基礎(chǔ)題．