Question

18．如圖所示，兩根相距L₁的平行粗糙金屬導(dǎo)軌固定在水平面上，導(dǎo)軌上分布著n 個(gè)寬度為d、間距為2d的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直水平面向上．在導(dǎo)軌的左端連接一個(gè)阻值為R的電阻，導(dǎo)軌的左端距離第一個(gè)磁場區(qū)域L₂的位置放有一根質(zhì)量為m，長為L₁，阻值為r的金屬棒，導(dǎo)軌電阻及金屬棒與導(dǎo)軌間的接觸電阻均不計(jì)．某時(shí)刻起，金屬棒在一水平向右的已知恒力F作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，已知金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．

（1）若金屬棒能夠勻速通過每個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)域，求金屬棒離開第2個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)域時(shí)的速度v₂的大�。�
（2）在滿足第（1）小題條件時(shí)，求第n個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n的大小；
（3）現(xiàn)保持恒力F不變，使每個(gè)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度均相同，發(fā)現(xiàn)金屬棒通過每個(gè)磁場區(qū)域時(shí)電路中的電流變化規(guī)律完全相同，求金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到通過第n個(gè)磁場區(qū)域的整個(gè)過程中左端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解金屬棒離開第2個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)域時(shí)的速度v₂的大小．
（2）求出金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)的位移，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出進(jìn)入第n個(gè)磁場的速度，根據(jù)在第n個(gè)磁場中的受力平衡求第n個(gè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合動(dòng)能定理求出整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)能量關(guān)系求電阻上的焦耳熱．

解答 解：（1）金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律有
  F-μmg=ma
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有 v₂²=2a（L₂+2d）
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2（F-μmg）（{L}_{2}+2d）}{m}}$
（2）金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)的總位移為   x=L₂+2nd-2d
金屬棒進(jìn)入第n個(gè)勻強(qiáng)磁場的速度滿足  v_n²=2ax
金屬棒在第n個(gè)磁場中勻速運(yùn)動(dòng)有
    F-μmg-F_安=0
又 F_安=$\frac{{B}_{n}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{n}}{R+r}$
解得：B_n=$\frac{1}{{L}_{1}}$$\root{4}{\frac{m（F-μmg）（R+r）^{2}}{2{L}_{2}+4nd-4d}}$
（3）金屬棒進(jìn)入每個(gè)磁場時(shí)的速度v和離開每個(gè)磁場時(shí)的速度v′均相同，由題意可得
   v²=2aL₂
  v²-v'²=2a•2d
金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到通過第n個(gè)磁場區(qū)域的過程中，有
  x_總=L₂+3nd-2d
根據(jù)動(dòng)能定理得（F-μmg）x_總-Q_總=$\frac{1}{2}$mv′²；
電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱 Q=$\frac{R}{R+r}$Q_總；
解得：Q=$\frac{3R}{R+r}$nd（F-μmg）
答：
（1）金屬棒離開第2個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)域時(shí)的速度v₂的大小是$\sqrt{\frac{2（F-μmg）（{L}_{2}+2d）}{m}}$；
（2）第n個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n的大小是$\frac{1}{{L}_{1}}$$\root{4}{\frac{m（F-μmg）（R+r）^{2}}{2{L}_{2}+4nd-4d}}$；
（3）左端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q是$\frac{3R}{R+r}$nd（F-μmg）．

點(diǎn)評(píng) 本題分析受力是基礎(chǔ)，關(guān)鍵從能量轉(zhuǎn)化和守恒角度來求解，解題時(shí)要注意抓住使棒進(jìn)入各磁場的速度都相同，以及通過每段磁場時(shí)電路中發(fā)熱量均相同的條件．