Question

7．如圖所示，在摩擦因數為μ的平面上豎直固定一半徑為R的光滑半圓槽軌道，其底端恰與水平面相切，質量為m的小球以一定初速度從A點開始向右運動，經半圓槽軌道最低點B滾上半圓槽，小球恰能通過最高點C后落回到水平面上的A點． （不計空氣阻力，已知m=1kg  μ=0.25  R=$\frac{10}{6}$m  重力加速度g=10m/s²）求：
（1）小球通過B點時對半圓槽的壓力大�。�
（2）小球的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）對小球在B點時受力分析，根據牛頓第二定律求B受到的支持力，進而由牛頓第三定律得到B對圓槽的壓力；
（2）小球恰能通過最高點C，即重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球在C點的速度，小球離開C點后作平拋運動，根據平拋運動的特點求出AB兩點間的距離．根據動能定理即可求出A點的初速度．

解答 解：（1）則mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$
在B點小球做圓周運動，
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
得：F=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
B到C的過程中機械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$，F(xiàn)=60N
由牛頓第三定律知小球通過B點時對半圓槽的壓力大是60N；
（2）在C點小球恰能通過，故只有重力提供向心力，
過C點小球做平拋運動：s_AB=v_Ct
h=$\frac{1}{2}$gt²　
h=2R
聯(lián)立以上各式可得s_AB=2R．
由A到B的過程中摩擦力做功，得：$μmgs=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立上幾式可得：v₀=10m/s
答：（1）小球通過B點時對半圓槽的壓力大小是60N；
（2）小球的初速度是10m/s．

點評 本題關鍵是明確小球的運動情況，然后分過程運用平拋運動的分位移公式和向心力公式列式求解．