Question

14．衛(wèi)星攜帶一探測器在半徑為3R（R為地球半徑）的圓軌道上繞地球飛行．在a點，衛(wèi)星上的輔助動力裝置短暫工作，將探測器沿運動方向射出（設輔助動力裝置噴出的氣體質量可忽略）．若探測器恰能完全脫離地球的引力，而衛(wèi)星沿新的橢圓軌道運動，其近地點b距地心的距離為nR （n略小于3），求衛(wèi)星與探測器的質量比．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力求出半徑為3R的圓運動速度，對分離后探測器，根據(jù)機械能守恒求出分離后的速度，由機械能守恒定律和開普勒第二定律求出分離后衛(wèi)星的速度，再根據(jù)動量守恒定律即可求解衛(wèi)星與探測器的質量比．

解答 解：設地球質量為M，衛(wèi)星質量為m₁，探測器質量為m₂，
半徑為3R的圓運動速度為v，顯然有
${v}^{2}=\frac{GM}{3R}$
設分離后探測器速度為v₂，
$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}-\frac{GM{m}_{2}}{3R}=0$
解得：${{v}_{2}}^{2}=\frac{2GM}{3R}$
設分離后衛(wèi)星速度為v₁，近地點速度為v_b，由機械能守恒定律和開普勒第二定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{GMm}{3R}$=$\frac{1}{2}m{{v}_}^{2}-\frac{GMm}{nR}$，
3Rv=nRv_b，
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2n}{3+n}}\sqrt{\frac{GM}{3R}}$
由動量守恒定律得：
（m₁+m₂）v=m₁v₁+m₂v₂
解得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1-\sqrt{\frac{2n}{3+n}}}$
答：衛(wèi)星與探測器的質量比為$\frac{\sqrt{2}-1}{1-\sqrt{\frac{2n}{3+n}}}$．

點評 本題主要考查了向心力公式、機械能守恒定律、開普勒第二定律以及動量守恒定律的應用，解題的關鍵是知道分離后衛(wèi)星和探測器的運動情況，能選擇合適的定律求解，難度較大．