Question

如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧，左端連著絕緣介質(zhì)小球B，右端連在固定板上，放在光滑絕緣的水平面上．整個(gè)裝置處在場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球?yàn)镾處自由釋放，并與B球發(fā)生碰撞．碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，且A球的電荷量始終不變．已知B球的質(zhì)量M=3m，B球被碰后作周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期T=2π

M k

（A、B小球均可視為質(zhì)點(diǎn)）．
（1）求A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度V₁和B球的速度V₂；
（2）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求勁度系數(shù)k的可能取值．

Answer 1

（1）設(shè)A球與B球碰撞前瞬間的速度為v₀，由動(dòng)能定理得，qES=

1

2

m

v

20

                ①
解得：

v

0

=

2qES m

                      ②
碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒得 m

v

0

=m

v

1

+M

v

2

      ③
機(jī)械能無(wú)損失，有  

1

2

m

v

20

=

1

2

m

v

21

+

1

2

M

v

22

   ④
聯(lián)立解得  

v

1

=-

1

2

2qES m

  （ 負(fù)號(hào)表示方向向左），

v

2

=

1

2

2qES m

，方向向右        
即A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度V₁大小為解得

1

2

2qES m

，方向向左；B球的速度V₂大小為

1

2

2qES m

，方向向右．
（2）要使m與M第二次迎面碰撞仍發(fā)生在原位置，則必有A球重新回到O處所用的時(shí)間t恰好等于B球周期的（n+

1

2

），即t=（n+

1

2

）T，其中n=0，1，2，3…
對(duì)A由a=

Eq

m

及

v

1

=at可求出A球回到原碰撞點(diǎn)的時(shí)間t=

2v  1

a

，所以有

2v  1

a

=nT+

T

2

   （n=0，1，2，3…）
將T=2π

M K

、

v

1

=

1

2

2qES m

及a=

Eq

m

代入上式可得K=

3π 2  Eq(2n+1 ) 2

2S

  （n=0，1，2，3，…）
即要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，勁度系數(shù)k的可能取值為K=

3π 2  Eq(2n+1 ) 2

2S

（n=0，1，2，3，…）