Question

9．如圖（a）所示，兩根足夠長的平行光滑導(dǎo)軌MN、PQ相距為L，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為α，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，整個(gè)導(dǎo)軌放在垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中．長為L的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m．兩金屬導(dǎo)軌的上端與右端的電路連接，R是阻值可調(diào)的電阻箱，其最大值遠(yuǎn)大于金屬棒的電阻值．將金屬棒由靜止釋放，當(dāng)R取不同的值時(shí)，金屬棒沿導(dǎo)軌下滑會達(dá)到不同的最大速度v_m，其對應(yīng)的關(guān)系圖象如圖（b）所示，圖中v₀、R₀為已知，重力加速度取g．請完成下列問題：
（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為多少？
（2）金屬棒的電阻值為多少？
（3）當(dāng)R=R₀時(shí)，由靜止釋放金屬棒，在金屬棒加速運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，通過R的電量為q，求在這個(gè)過程中R上產(chǎn)生的熱量為多少？
（4）R取不同值時(shí)，R的電功率的最大值不同．有同學(xué)認(rèn)為，當(dāng)R=R₀時(shí)R的功率會達(dá)到最大．如果你認(rèn)為這種說法是正確的，請予以證明，并求出R的最大功率；如果你認(rèn)為這種說法是錯(cuò)誤的，請通過定量計(jì)算說明理由．

Answer 1

分析 （1）金屬棒下滑達(dá)到最大速度時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和安培力求得B．
（2）圖象橫軸截距大小等于R₀．
（3）由q=$\frac{△Φ}{R+r}$求出金屬棒下滑的距離S，根據(jù)能量守恒定律求出熱量．
（4）推導(dǎo)功率的表達(dá)式判斷正誤

解答 解：（1）安培力：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{ab}+R}$，
金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，
由平衡條件得：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{ab}+R}$，解得：v_m=$\frac{mgsinα（{R}_{ab}+R）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
由圖線斜率：k=$\frac{{v}_{0}}{{R}_{0}}$=$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$，解得：B=$\sqrt{\frac{mg{R}_{0}sinα}{{L}^{2}{v}_{0}}}$；
（2）由圖線在橫軸上的截距可得：R_ab=R₀；
（3）當(dāng)R=R₀時(shí)，v_m=2v₀，
電荷量：q=I△t=$\frac{△Φ}{△t（R+{R}_{0}）}$•△t=$\frac{△Φ}{2{R}_{0}}$=$\frac{BLs}{2{R}_{0}}$，解得：s=$\frac{2q{R}_{0}}{BL}$，
由能量守恒定律可知，熱量：
Q=$\frac{1}{2}$（mgsinαs-$\frac{1}{2}$mv_m²）=$\frac{1}{2}$mgsinα$\frac{2q{R}_{0}}{BL}$-mv₀²=q$\sqrt{mgsinα{R}_{0}{v}_{0}}$-mv₀²；
（4）這種說法錯(cuò)誤．
R的最大值電功率：P=I²R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{2}{L}^{2}}$R，
$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{2}{L}^{2}}$是恒量，則：P∝R，
P隨R增大而增大，無最大值．
答：（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\sqrt{\frac{mg{R}_{0}sinα}{{L}^{2}{v}_{0}}}$；
（2）金屬棒的電阻值為R₀；
（3）在這個(gè)過程中R上產(chǎn)生的熱量為：q$\sqrt{mgsinα{R}_{0}{v}_{0}}$-mv₀²；
（4）說法錯(cuò)誤，無最大功功率．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)的綜合題，常常用到兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：安培力F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$和感應(yīng)電量q=n$\frac{△Φ}{R+r}$．