Question

14．如圖所示在xOy平面的第二和第四象限中，存在兩個(gè)場強(qiáng)大小均為E的勻強(qiáng)電場Ⅱ和Ⅰ，兩電場的邊界均是邊長為L的正方形，在第一象限的區(qū)域Ⅲ內(nèi)存在一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向未知，不考慮邊緣效應(yīng)，一電子（已知質(zhì)量為m，電量為e）從GF中點(diǎn)靜止釋放（不計(jì)電子所受重力），恰垂直經(jīng)過y軸．

（1）求在區(qū)域Ⅲ內(nèi)的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）求電子離開ABCD區(qū)域的位置．
（3）在電場Ⅰ區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能垂直經(jīng)過y軸，求所有釋放點(diǎn)的位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出電子進(jìn)入磁場時(shí)的速度，在磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，由半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，由左手定則求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向；
（2）在GF邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，電場力對(duì)電子做正功，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子進(jìn)入磁場時(shí)的速度．在磁場中運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周，進(jìn)入電場II后電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出電子的加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電子離開ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)．
（3）在電場I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子先在電場Ⅰ中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場后勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出位置x與y的關(guān)系式．

解答 解：（1）在區(qū)域Ⅰ中，電子經(jīng)電場加速獲得的速度為v0，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
$eEL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2eEL}{m}}$…①
在區(qū)域Ⅲ中，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑$R=\frac{L}{2}$，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：
$e{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{eB}$…②
聯(lián)立①②得：$B=2\sqrt{\frac{2Em}{eL}}$
根據(jù)左手定則，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直紙面向外
（2）進(jìn)入電場Ⅱ后電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)電子從CD邊射出，出射點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，有：
$\frac{L}{2}-y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
根據(jù)牛頓第二定律：$a=\frac{eE}{m}$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}$
代入解得$y=\frac{L}{4}$，即電子離開ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)為$（-2L，\frac{L}{4}）$
（3）設(shè)釋放點(diǎn)在電場區(qū)域Ⅰ中，其坐標(biāo)為（x，y），在電場Ⅰ中電子被加速到${v}_{1}^{\;}$，然后進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)殡娮忧∧艽怪苯?jīng)過y軸，所以
R′=x
$eE|y|=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有$e{v}_{1}^{\;}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$
得：$R′=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{eB}$
聯(lián)立解得：${x}_{\;}^{2}=\frac{2mE}{e{B}_{\;}^{2}}|y|$
答：（1）在區(qū)域Ⅲ內(nèi)的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小$2\sqrt{\frac{2Em}{eL}}$和方向垂直紙面向外．
（2）電子離開ABCD區(qū)域的位置（-2L，$\frac{L}{4}$）．
（3）在電場Ⅰ區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能垂直經(jīng)過y軸，所有釋放點(diǎn)的位置滿足${x}_{\;}^{2}=\frac{2mE}{e{B}_{\;}^{2}}|y|$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶點(diǎn)粒子在混合場中運(yùn)動(dòng)的問題，要求能夠正確分析電子的受力情況，再通過受力情況分析其運(yùn)動(dòng)情況，圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式，用幾何關(guān)系解題，難度較大．