Question

15．有一種衛(wèi)星叫做極地衛(wèi)星，其軌道平面與地球的赤道平面成90°角，它常應(yīng)用于遙感、探測等．假設(shè)有一個極地衛(wèi)星繞地球做勻速周運動，已知該衛(wèi)星的運動周期為$\frac{{T}_{0}}{4}$（T₀為地球的自轉(zhuǎn)周期），地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R．則：
（1）該衛(wèi)星一晝夜能有8次經(jīng)過赤道上空；
（2）該衛(wèi)星離地的高度H是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

Answer 1

分析 （1）已知衛(wèi)星運動周期與地球自轉(zhuǎn)周期間的關(guān)系，可以求出衛(wèi)星一晝夜經(jīng)過赤道上空的次數(shù)．
（2）衛(wèi)星做圓周運動所需要的向心力由地球的萬有引力提供，在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，根據(jù)這兩個關(guān)系列式求解．

解答 解：（1）衛(wèi)星周期T=$\frac{{T}_{0}}{4}$，則衛(wèi)星一晝夜繞地球轉(zhuǎn)4圈，衛(wèi)星每個周期經(jīng)過赤道上空兩次，因此一晝夜衛(wèi)星經(jīng)過地球赤道上空8次；
（2）衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，由萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
 G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）
在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：
 G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
聯(lián)立解得：H=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．
故答案為：（1）8；（2）$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

點評 萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律列方程可以求出衛(wèi)星距地面的高度，解題時注意“黃金代換式”g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$的應(yīng)用．