Question

如圖所示，水平放置的圓盤(pán)上，在其邊緣C點(diǎn)固定一個(gè)小桶，桶的高度不計(jì)，圓盤(pán)半徑為R=1m，在圓盤(pán)直徑CD的正上方，與CD平行放置一條水平滑道AB，滑道右端B與圓盤(pán)圓心O在同一豎直線上，且B點(diǎn)距離圓盤(pán)圓心的豎直高度h=1.25m，在滑道左端靜止放置質(zhì)量為m=0.4kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），物塊與滑道的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，現(xiàn)用力F=4N的水平作用力拉動(dòng)物塊，同時(shí)圓盤(pán)從圖示位置，以角速度ω=2πrad/s，繞通過(guò)圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，拉力作用在物塊一段時(shí)間后撤掉，最終物塊由B點(diǎn)水平拋出，恰好落入圓盤(pán)邊緣的小桶內(nèi)．重力加速度取10m/s²．求：（1）求拉力作用的最短時(shí)間；
（2）若拉力作用時(shí)間為0.5s，求所需滑道的長(zhǎng)度；
（3）在（2）問(wèn)的前提下，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)．

Answer 1

（1）物塊平拋：h=

1

2

gt²；
t=

2h g

=

2×1.25 10

=0.5s
物塊離開(kāi)滑道時(shí)的速度：v=

R

t

=2m/s；
拉動(dòng)物塊的加速度，由牛頓第二定律：F-?mg=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=

F-μmg

m

=

4-0.2×0.4×10

0.4

=8m/s²
撤去外力后，由牛頓第二定律：-μmg=ma₂；
得：a₂=-0.2×10=-2m/s²
盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)一圈時(shí)落入，拉力時(shí)間最短，有：
T=

2π

ω

=

2π

2π

=1s，
物塊在滑道上先加速后減速，有：v₀=a₁t₁+a₂t₂=8t₁-2t₂
故4t₁-t₂=1；
物塊滑行時(shí)間、拋出在空中時(shí)間與圓盤(pán)周期關(guān)系：t₁+t₂+t=T，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：t₁=0.3s．
（2）若拉力時(shí)間為0.5s，則加速位移為：x₁=

1

2

a₁t²=

1

2

×8×0.25=1m；
加速的末速度為：v₁=a₁t=8×0.5=4m/s；
減速過(guò)程的位移為：x₂=

v2- v 21

2a2

=

4-16

-4

m/s=3m；
木板的長(zhǎng)度為：x=x₁+x₂=1+3=4m；
（3）拉力的時(shí)間為0.5s，減速時(shí)間為：t₃=

v-v1

a2

=

2-4

-2

s=1s；
時(shí)間為：t₄=0.5+t₃=0.5+1=1.5s；
故轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為：n=

1.5

1

=1.5圈；
答：（1）拉力作用的最短時(shí)間為0.3s；
（2）木板的長(zhǎng)度為4m；
（3）圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)了1.5圉．