Question

1．已知地球半徑為R，表面的重力力加速度g，引力常量為G．地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期為T，太陽視角為2θ．如圖所示，求
（1）地球的質(zhì)量
（2）地球與太陽的密度之比．

Answer 1

分析 （1）已知地球半徑為R，表面的重力力加速度g，根據(jù)物體在地球表面上，重力等于萬有引力，列式可求地球的質(zhì)量．
（2）由幾何關(guān)系可求出太陽半徑與地球和太陽間距離的關(guān)系．根據(jù)地球公轉(zhuǎn)時(shí)，萬有引力提供向心力，列式得到太陽半徑與地球公轉(zhuǎn)周期和半徑的關(guān)系，聯(lián)立解答．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M₁，質(zhì)量為m的物體在地球表面有
  mg=G$\frac{{M}_{1}m}{{R}^{2}}$
可得 M₁=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）地球密度ρ₁為 ρ₁=$\frac{{M}_{1}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$
設(shè)地球和太陽間距離為r，太陽質(zhì)量為M₂，有 $\frac{G{M}_{1}{M}_{2}}{{r}^{2}}$=M₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
設(shè)太陽的半徑為R′，太陽的密度為ρ₂，有 ρ₂=$\frac{{M}_{2}}{\frac{4}{3}πR{′}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}R{′}^{3}}$
根據(jù)題意有 R′=rsinθ
所以有 $\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}$=$\frac{g{T}^{2}si{n}^{3}θ}{4{π}^{2}R}$
答：
（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）地球與太陽的密度之比為gT²sin³θ：4π²R．

點(diǎn)評 本題主要要掌握重力等于萬有引力、萬有引力提供向心力這兩個(gè)基本思路，要能根據(jù)題目的要求選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．